Comprobar la continuidad uniforme de las funciones

Question

Elige las funciones uniformemente continuas:

$$ \begin{array}{lll} (a) \quad& f(x) = \cos x \cos \pi x & x \in(0, 1)\\ (b) & f(x) = \sin x \cos \pi x & x \in(0, 1)\\ (c) & f(x) = \sin^2 x & x \in(0, \infty)\\ (d) & f(x) = \cos x \cos \left(\frac\pi x\right) & x \in(0, 1)\\ (e) & f(x) = \sin x \cos \left(\frac\pi x\right) & x \in(0, 1)\\ \end{array} $$

Answer 1

Podemos resolverlos sabiendo estas cosas

Sea $f:(a,b)\to\mathbb R$ sea una función continua en el intervalo abierto y acotado $(a,b)$ . Entonces los dos límites $$\lim_{x\to a_+}f(x)\qquad\text{and}\qquad \lim_{x\to b_-}f(x)$$ existen si y sólo si $f$ es uniformemente continua en $(a,b)$
Teorema 1.12 en The calculus integral por Brian S. Thomson

y

Si una función $f$ tiene una derivada acotada, es Lipschitz continuo .
Todas las funciones continuas de Lipschitz son uniformemente continuas.

---

$$(a)\quad f(x)=\cos x \cos(\pi x),\quad x\in(0,1)$$ La derivada de esta función es $$f'(x)=-\sin x\cos(\pi x)-\pi \sin(\pi x) \cos x$$ La derivada de esta función está limitada por $[-\pi-1,\pi+1]$ por lo que es continua de Lipschitz.

---

$$(b)\quad f(x)=\sin x\cos (\pi x),\quad x\in(0,1)$$ La derivada de esta función es $$f'(x)=\cos x\cos(\pi x)-\pi \sin x \sin(\pi x)$$ La derivada de esta función está limitada por $[-\pi-1,\pi+1]$ por lo que es continua de Lipschitz.

---

$$(c)\quad f(x)=\sin^2 x,\quad x\in(0,\infty)$$ La derivada de esta función es $$f'(x)=\sin(2x)$$ La derivada de esta función está limitada por $[-1,1]$ por lo que es continua de Lipschitz.

---

$$(d)\quad f(x) = \cos x\cos\left(\frac\pi x\right),\quad x\in(0,1)$$

El límite inferior es indefinido, por lo que la función no es uniformemente continua.

$$\lim_{x\to0_+} \cos x\cos\left(\frac\pi x\right)=\color{gray}{\text{undefined}}$$

---

$$(d)\quad f(x) = \sin x\cos\left(\frac\pi x\right),\quad x\in(0,1)$$

Los límites a continuación están definidos, por lo que la función es uniformemente continua

$$\lim_{x\to0_+} \sin x\cos\left(\frac\pi x\right)=0$$ $$\lim_{x\to1_-} \sin x\cos\left(\frac\pi x\right)=-\sin 1$$