Simplificación de una suma infinita formada por polinomios de Legendre

Question

En un artículo sobre los polinomios de Legendre, encontré la siguiente simplificación.

\begin{align} (something)\dots&=\int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} \left[\sum_{i=n+1}^{\infty} \sum_{j=n+1}^{\infty} a_{ij}\, p_{i}(x) \,p_{j}(y) \right]^2\, dx\, dy \qquad (1)\\ &=\int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} \sum_{i=n+1}^{\infty} \sum_{j=n+1}^{\infty} \left[a_{ij}^2\, p_{i}^2(x) \,p_{j}^2(y) \right]\, dx\, dy \, \qquad (2) \end{align} donde $p_i(x)$ y $p_j(y)$ son polinomios de Legendre.

¿Podría explicarnos cómo podemos simplificar la ecuación $(1)$ a la ecuación $(2)$ ? Como sabes las sumas infinitas no tienen muchas propiedades que tienen las sumas finitas. Por cierto, el artículo se puede encontrar aquí . Las ecuaciones anteriores se encuentran en la página 88.

Answer 1

El uso de $$ \int_{-1}^{1} P_{n}(x) \, P_{m}(x) \, dx = \frac{2}{2 n + 1} \, \delta_{n,m}$$ se hará de la siguiente manera: \begin{align} I &= \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} \left[\sum_{i=n+1}^{\infty} \sum_{j=n+1}^{\infty} b_{i,j} \, P_{i}(x) \, P_{j}(y) \right]^2 \, dx\, dy \\ &= \sum_{i} \sum_{j} \sum_{k} \sum_{m} b_{i,j} \, b_{k,m} \, \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} P_{i}(x) \, P_{k}(x) \, P_{j}(y) \, P_{m}(y) \, dx \, dy \\ &= \sum_{i} \sum_{j} \sum_{k} \sum_{m} b_{i,j} \, b_{k,m} \, \int_{-1}^{1} P_{i}(x) \, P_{k}(x) \, dx \times \, \int_{-1}^{1} P_{j}(y) \, P_{m}(y) \, dy \\ &= \sum_{i} \sum_{j} \sum_{k} \sum_{m} \frac{4 \, b_{i,j} \, b_{k,m}}{(2 i+1)(2 j +1)} \, \delta_{i,k} \, \delta_{j,m} \\ &= \sum_{i} \sum_{j} \frac{4 \, b_{i,j}^{2}}{(2 i+1)(2 j+1)} \end{align} Ahora bien, puesto que $$ \int_{-1}^{1} P_{n}^{2}(x) \, dx = \frac{2}{2 n + 1} $$ entonces \begin{align} I &= \sum_{i} \sum_{j} \frac{4 \, b_{i,j}^{2}}{(2 i+1)(2 j+1)} \\ &= \sum_{i} \sum_{j} b_{i,j}^{2} \, \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} P_{i}^{2}(x) \, P_{j}^{2}(x) \, dx \\ &= \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} \sum_{i=n+1}^{\infty} \sum_{j=n+1}^{\infty} \left( b_{i,j}^2 \, P_{i}^2(x) \, P_{j}^2(y) \right) \, dx\, dy. \end{align} Esto da $$ \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} \left[\sum_{i=n+1}^{\infty} \sum_{j=n+1}^{\infty} b_{i,j} \, P_{i}(x) \, P_{j}(y) \right]^2 \, dx\, dy = \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} \sum_{i=n+1}^{\infty} \sum_{j=n+1}^{\infty} \left( b_{i,j}^2 \, P_{i}^2(x) \, P_{j}^2(y) \right) \, dx\, dy $$