Secuencia de Cauchy es convergente iff tiene un subsequence convergente

Question

Probar que si $\left ( x_{n} \right )$ es una secuencia de Cauchy en un espacio métrico X, a continuación, $\left ( x_{n} \right )$ es convergente si y sólo si $\left ( x_{n} \right )$ tiene un convergentes larga.

Nota: me doy cuenta de que esta pregunta se ha hecho antes y para muchos de ustedes esto es una embarazosa pregunta fácil.... (Esperemos que un día será el mismo para mí) sin Embargo, hoy en día estoy atascado en la segunda parte de esta prueba..... :((( Cualquier ayuda sería muy apreciada.... :)

Aquí es lo que tengo hasta ahora:

($\Rightarrow $) Supongamos $\left ( x_{n} \right )$ es convergente secuencia de Cauchy en (X,d). A continuación,$x_{n}\rightarrow x\in X$. Por lo tanto, por el Lema, $\left ( x_{n} \right )$ tiene un convergentes larga tal que $x_{n_{k}}\rightarrow x$.

[Lema: Vamos a $\left ( x_{n} \right )$ ser una secuencia en un espacio topológico X. a Continuación, $x_{n}\rightarrow x\in X$ si y sólo si $x_{n_{k}}\rightarrow x$ por cada subsequence $\left ( x_{n_{k}} \right )$$\left ( x_{n} \right )$.] - obtenido con este Lema de mi libro.

($\Leftarrow $) Ahora suponga que el $\left ( x_{n} \right )$ es una secuencia de Cauchy y tiene un convergentes subsequence $\left ( x_{n_{k}} \right )$ tal que $x_{n_{k}}\rightarrow x\in X$. Desde $\left ( x_{n} \right )$ es de Cauchy, entonces, por definición, para cada $\varepsilon>0$ existe un $N\in \mathbb{N}$ tal que para todo $i, j\geq \mathbb{N}$, $d(x_{i},x_{j})<\varepsilon$.

Desde $\left ( x_{n_{k}} \right )$ s un covergent larga, entonces no es $K\in \mathbb{N}$ tal que $x_{n_{k}}\in U$ todos los $n_{k}\geq K$ donde U es un conjunto abierto en X que contiene a x.
.....

!!!!!!!Y aquí es donde estoy atascado.... :( Creo que voy a usar el Triángulo de la Desigualdad, pero estoy confundido sobre cómo incorporar.... :(

Answer 1

Ciertamente no es el más elemental de la prueba, pero esto uno se siente bastante satisfactorio conceptualmente: vamos a $(X,d)$ ser un espacio métrico y contemplar una secuencia de Cauchy $\{x_n\}$ con convergente larga, dicen convergente a $L \in X$. Ahora considere la posibilidad de la finalización de la $\overline{X}$ $X$ : por definición, cada secuencia de Cauchy en $\overline{X}$ converge, por lo que nuestra secuencia $\{x_n\}$ converge en $\overline{X}$,$M$. Pero cada subsequence también converge a $M$ e lo $M = L$. De ello se desprende que el original de la secuencia de Cauchy es convergente a $L$!

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Añadido: aunque Realmente, la prueba directa es también bastante simple conceptualmente: desea mostrar que la secuencia converge a $L$. Para cualquier fija $\epsilon$ sabemos que (i) todos los pares de términos con suficientemente grande índice dentro de $\frac{\epsilon}{2}$ de cada uno de los otros, y (ii) existe al menos un término de la secuencia con suficientemente grande, índice que está dentro de$\frac{\epsilon}{2}$$L$. Aplicar la desigualdad de triángulo!

Answer 2

Asumir que existe un subsequence $(x_{n_k})$ $(x_n)$ tal que $x_{n_k}\to x$ es en $X$. Que $\varepsilon>0$ y elija $N$ tal que $d(x_{n_k},x)<\varepsilon$ y $d(x_n,x_m)<\varepsilon$ $n,m>N$. Ahora, si $n>N$ y $n_k>n>N$ y así $$d(x_n,x)\leq d(x_n,x_{n_k})+d(x_{n_k},x)<2\varepsilon,$ $

i.e., $x_n\to x$ in $X$.

Answer 3

Let $x_{n_k}$ $\to$ $L$ .

Debemos mostrar que $ \forall$$\varepsilon> 0 $ $\exists N $ tal que $d(x_i,L)$ $ $ < $\varepsilon$ $i\geq N$.

Para elegir $N$, utilizar la Cauchyness $x_n$ - $\exists M$ tal que $j \geq M$ implica $d(x_M,x_j) < \varepsilon/2$.

Por lo tanto también tenemos $d(x_M,L)\leq \varepsilon/2$.

Ahora toma $ N=M$.

$d(x_i,L) \leq d(x_N,L)+d(x_i,x_N) < \varepsilon/2 + \varepsilon/2 < \varepsilon$ $ \hspace{11mm} \blacksquare$

Answer 4

Sugerencia: suponga que converge la $\{x_n\}$ $a$. ¿Es $\{x_n\}$ un subsequence de sí mismo?

2 sugerencia: suponga que converge la $x_n$ $A$. Elegir un % arbitrario subsequence $\{a_n\}$y probar
también debe converger que $\{a_n\}$ $A$. Usted necesita escoger un $\epsilon > 0$ y $n*$ tal que

$|a_n - A|<\epsilon$ % todo $n \ge n*$