¿Es noetheriano un dominio todas cuyas localizaciones son noetherianas?

Question

Es un dominio $D$ todas cuyas localizaciones $D_P$ para $P \in Spec(D)$ son noetherianas, ¿ella misma noetheriana?

La pregunta está motivada por la proposición 11.5 de la Teoría Algebraica de Números de Neukirch:

Sea $\mathfrak{o}$ sea un dominio integral noetheriano. $\mathfrak{o}$ es un dominio Dedekind si y sólo si, para todos los ideales primos $\mathfrak{p}\neq 0$ las localizaciones $\mathfrak{o}_\mathfrak{p}$ son anillos de valoración discretos.

Si la pregunta anterior tiene una respuesta positiva, esta proposición daría una caracterización incondicionada (es decir, sin precondición "noetheriana") de los dominios Dedekind por una propiedad local.

Buscando en Google he encontrado un contraejemplo para un anillo con divisores cero:

https://math.stackexchange.com/questions/73421/a-non-noetherian-ring-with-all-localizations-noetherian

Pero no he podido encontrar un contraejemplo para un dominio.

Answer 1

Yo tenía exactamente la misma pregunta no hace mucho tiempo. Al parecer, si se elimina la condición previa noetheriana en la definición de Neukirch de "dominio Dedekind", se obtiene lo que algunos llaman un "dominio casi Dedekind". De hecho, hay ejemplos de dominios casi Dedekind que no son Dedekind (es decir, no son noetéreos). El primero lo dio Nakano ( J. Sci. Hiroshima Univ. Ser. A. 16 425-439 (1953)): tómese el cierre integral de $\mathbb Z$ en el campo obtenido por contigüidad a $\mathbb Q$ el $p$ raíces de la unidad para todos los primos $p$ .

Answer 2

No, no es verdad. En el documento [Heinzer, Ohm: Anillos conmutativos localmente noetherianos] los autores (que también mencionan el ejemplo de Nakano de la respuesta de Faisal, que califican de "bastante complicado" ) construyen dos contraejemplos: véanse los ejemplos 2.2, 2.3.

Su ejemplo 2.3 muestra además que $D$ no tiene por qué ser noetheriano, aunque el espacio $Spec(D)$ y todos $D_P$ son noeterianos.

Answer 3

Todas las respuestas anteriores nos remiten a ejemplos complicados ya que estos son $1$ -dominios dimensionales. Pero el OP ha buscado

Un dominio $D$ todas cuyas localizaciones $D_P$ para $P∈\mathrm{Spec}(D)$ son noetherianos, y $D$ no es noetheriano.

Un ejemplo sencillo es el siguiente: $D=\mathbb Z[\frac Xp:p\text{ prime},p\ge 2].$
Se trata de un dominio integral que no es noeteriano.
Ahora dejemos que $P$ sea un ideal primo de $D$ . Hay dos casos:
$\bullet$ $P\cap\mathbb Z=(0)$ . Establecer $S=\mathbb{Z} \setminus\{0\}$ . Entonces $D_P\simeq(S^{-1}D)_{S^{-1}P}$ Eso es, $D_P$ es una localización de $S^{-1}D=\mathbb Q[X]$ que es un anillo noetheriano.
$\bullet$ $P\cap\mathbb Z=q\mathbb Z$ con $q\ge2$ un número primo. Establecer $S=\mathbb Z\setminus q\mathbb Z$ . Análogamente $D_P$ es una localización de $S^{-1}D=\mathbb Z_{(q)}[\frac Xq]$ (aquí $\mathbb Z_{(q)}$ representa la localización de $\mathbb Z$ en el ideal primo $q\mathbb Z$ ) que también es un anillo noetheriano.

Observación. Lo anterior demuestra que $\dim D=2$ .

Answer 4

El anillo de los números enteros $\mathcal{O}_{\mathbf{C}_p}$ de $\mathbf{C}_p$ no es noetheriano, pero su única localización no trivial es $\mathbf{C}_p$ que es noetheriano.

EDITAR Esto no responde a la pregunta : el anillo $\mathcal{O}$ es local, por lo que su localización en el ideal máximo es $\mathcal{O}$ que no es noetheriano.

Los ideales no nulos de $\mathcal{O}$ son de la forma $I_{\geq \alpha} = \{x \in \mathcal{O} : v(x) \geq \alpha\}$ con $\alpha \in \mathbf{Q}_{>0}$ y $I_{> \alpha} = \{x \in \mathcal{O} : v(x) > \alpha\}$ con $\alpha \in {\bf R}_{\geq 0}$ . Aquí $v$ es el $p$ -valoracionadic en $\mathbf{C}_p$ . El anillo $\mathcal{O}$ es unidimensional : sus únicos ideales primos son $(0)$ y el ideal máximo $I_{>0}$ .