Estoy intentando comprender la aproximación de fase estacionaria a partir del ejemplo de Wikipedia que se muestra en aquí , pero hay algo que no entiendo cómo se hace funcionar. Siguiendo el ejemplo del artículo: $$f(x,t) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{\mathbb{R}} F(w)\,e^{i[k(w)x-wt]}\,dw \,\,\,\,\texttt{(Eq. 1)}$$ Entonces, el término de fase $\phi = k(w)x-wt$ es estacionario cuando: $$\frac{d}{dw}\left( k(w)x-wt \right)=0 \,\,\Rightarrow w_0\,\,\,\,\texttt{(Eq. 2)}$$ O lo que es lo mismo: $$ \frac{dk(w)}{dw} = \frac{t}{x}\,\,\,\,\texttt{(Eq. 3)}$$ Entonces, mediante aproximaciones en serie de Taylor y otras manipulaciones, la aproximación en fase estacionaria viene dada por: $$ f(x,t) \approx \frac{|F(w_0)|}{2\pi}\sqrt{\frac{2\pi}{x|k''(w_0)|}} \cos\left( k(w_0)x-w_0t \pm\frac{\pi}{4} \right) \,\,\,\,\texttt{(Eq. 4)}$$
Creo que el siguiente término de la Ec. 4 se interpreta como: $$k''(w_0) \cong \frac{d^2}{dw^2}\left(k(w) \right)\Big|_{w=w_0}$$
Pero como el lado derecho de la Ecuación 3 es independiente de $w$ significa que: $$ \frac{d^2}{dw^2}\left(k(w) \right) = \frac{d}{dw}\left( \frac{dk(w)}{dw} \right) = \frac{d}{dw}\left( \frac{t}{x} \right) = 0 \,\,\,\forall \,w \Rightarrow k''(w_0) = 0$$
Lo que significa que Tengo una división por cero sucediendo en la Ec. 4.
Así que.., ¿Cómo es posible que la Ec. 4 no sea indeterminada? ¿Qué estoy entendiendo mal?
