[Editar:] La respuesta debe ser positiva, es decir, todo grupo profinito aparece como grupo fundamental de un esquema. He aquí un esbozo de la prueba.
En primer lugar, afirmo que para cualquier grupo finito $G$ existe una variedad compleja afín simplemente conexa $X$ con una acción libre de $G$ . Partir de una representación fiel de dimensión finita $G \to \mathrm{GL}(V)$ de $G$ tal que existe un subconjunto abierto $U \subseteq V$ donde la acción de $G$ es libre, y tal que $V \smallsetminus U$ tiene codimensión al menos 2 en $V$ . Entonces $X$ se obtiene con una fácil extensión equivariante del truco de Jouanolou. Se obtiene una $G$ -cubriendo $X \to X/G$ Entonces $X/G$ es una variedad afín, y su grupo fundamental es $G$ .
Tomemos ahora un grupo profinito $G = \projlim_{i\in I}G_i$ identificar $G$ con el correspondiente esquema de grupo afín sobre $\mathbb C$ de la forma habitual. Para cada subconjunto finito $J\subseteq I$ denotado por $G_J$ la imagen de $G$ en $\prod_{j\in J}G_j$ claramente tenemos $G = \projlim_{J \subseteq I}G_J$ .
Para cada $i$ tomemos una variedad compleja afín simplemente conexa $X_i$ con una acción libre de $G_i$ . Consideremos el esquema afín $X := \prod_{i \in I}X_i$ con la acción resultante de $G$ y el cociente $X/G$ que es el espectro del anillo de invariantes $\mathbb C[X]^G$ . Para cada subconjunto finito $J\subseteq I$ configure $X^J := \prod_{j \in J}X_j$ . La acción de $G$ en $X^J$ factores a través de una acción libre de $G_J$ . Además, tenemos $\mathbb C[X]^G = \injlim_{J \subseteq I}\mathbb C[X^J]^{G_J}$ Por lo tanto $X/G = \projlim X^J/G_J$ .
Ahora, $X^J$ es simplemente conexo, por lo que el grupo fundamental de $X^J/G_J$ est $G_J$ . Por otra parte, es fácil ver que la categoría de Galois de $X$ es el límite inductivo de las categorías de Galois del $X^J$ de modo que su grupo de Galois es precisamente $\projlim G_J = G$ .
[Edición 2:] Permítanme aclarar lo que quiero decir con el "truco equivariante de Jouanolou". El teorema de Jouanolou dice que si $U$ es una variedad cuasi-proyectiva, existe una fibración localmente trivial en espacios afines $X\to U$ donde $X$ es afín. Lo que necesitamos aquí es la afirmación de que si $G$ es un grupo finito que actúa sobre $U$ podemos construir un mapa $X \to U$ que también es $G$ -equivariante. Esto es fácil: se parte de una fibración en el espacio afín $Y \to U$ con $Y$ afín, y tomar $X$ como el producto fibra sobre $U$ de todos los $g^*Y$ para $g \in G$ con la acción evidente de $G$ .
