Sobre el tamiz "olvidado" de Buchstab et al y la conjetura de Goldbach para ciertos enteros

Question

Existe una aproximación teórico-tamiz algo olvidada a la conjetura de Goldbach, debida a Buchstab et al, véanse por ejemplo las pp.247-248 de R.D. James.

En la p.247, James define alguna función $F$ tal que para cualquier $a \in \mathbb{N}$ e incluso $x \geq 6$ :

1. $F(x ; 2, a, 1) = F(x; 2)$ con $a=1$ es el número de enteros positivos $n \leq x$ tal que $n \equiv a\pmod{2}$ . Así $F(x; 2) = x/2$ .

2. $F(x; 2, x, a)=F(x; 2, x)$ con $a=1$ es el número de enteros positivos Impares $n<x$ (sin doble contabilidad $n$ y $x-n$ ), de forma que cada una de $n$ y $x-n$ es primo o igual a 1. Por tanto, si se pudiera demostrar que $F(x; 2, x) \geq 2$ se deduce que existe al menos una representación $x= n+(x-n)$ en el que cada uno de $n$ y $x-n$ es primo o igual a 1. Por tanto, si $x-1$ es compuesto, bastaría con demostrar que $F(x; 2, x) = F(x; 2, x) \geq 1$ .

Al final de la p.248, James afirma que $$ F(x; 2, x) = F(x; 2) - 2\sum_{r=1}^{k} F(x; 2p_r, p_{r-1}) = x/2 - 2\sum_{r=1}^{k} F(x; 2p_{r}, p_{r-1}) ,$$ donde $p_i$ denota el $i$ -th impar prime $\leq x$ . T. Kubalalika, en su preimpresión [2], deja que $6 \leq x \equiv 2\pmod{4}$ donde $x-1$ es compuesto. Supongamos ahora que $x$ es un contraejemplo de Goldbach, por lo que $F(x; 2, x)=0$ . Introduciendo esto en la igualdad anterior se obtiene $$ x/2 = 2\sum_{r=1}^{k} F(x; 2p_r, p_{r-1}), $$ contradiciendo el hecho de que $x/2$ es impar. Por lo tanto, se deduce que si $x\equiv 2\pmod{4}$ y $x-1$ es compuesto, entonces $x$ es una suma de dos primos.

Mi pregunta es, dada la solidez de la criba de Buchstab et al (como demuestra la facilidad con la que conduce a la demostración del resultado anterior), ¿existe alguna mejora moderna de la misma que pueda conducir a resultados aún más potentes? Una rápida búsqueda en Google parece sugerir que el tamiz cayó en el olvido en cuanto el método del círculo de Hardy-Littlewood condujo al teorema de los 3 primos de Vinogradov.

Referencias

[1] R. D. James, " Avances recientes en el problema de Goldbach " Bulletin of the American Mathematical Society 55, 246-260 (1949), MR0028893 , Zbl 0034.02301 .

[2] T. Kubalalika, " Sobre la conjetura binaria de Goldbach para ciertos números enteros pares ", preprint de figSHARE.

Answer 1

El resultado (la identidad de Buchstab) que mencionas no se olvida. En los textos modernos de teoría del tamiz, como el de Halberstam y Richert Métodos de tamizado y Friedlander & Iwaniec's Ópera de Cribro la identidad se escribe como

$$ S(\mathcal A,z)=S(\mathcal A,w)-\sum_{w\le p<z}S(\mathcal A_p,p) $$

donde $S(\mathcal A,z)$ cuenta los enteros en $\mathcal A$ que están libres de divisores primos $<z$ .

Una de sus generalizaciones (el tamiz ponderado de Kuhn) se utiliza para demostrar el teorema de Chen. Cuando $N$ es un número entero par positivo, $\mathcal A=\{N-p:p\le N\}$ tenemos

$$ \begin{aligned} r_{1,2}(N)&=\#\{p\le N:n-p\text{ prime or product of two primes}\} \\ &>S(\mathcal A,N^{1/10})- \frac12\sum_{N^{1/10}\le p<N^{1/3}}S(\mathcal A_p,N^{1/10})-\frac\Omega2+O(N^{9/10}) \end{aligned}\tag1 $$

en el que

$$ \Omega=\#\{p\le N:N-p=p_1p_2p_3,N^{1/10}\le p_1<N^{1/3}\le p_2<(N/p_1)^{1/2}\}. $$

Evaluando el lado derecho mediante el teorema de Jurkat-Richert y la criba de Selberg, Chen descubrió que para grandes $N$ hay

$$ r_{1,2}(N)>{0.67N\over\log^2N}\prod_{2<p|N}{p-1\over p-2}\prod_{p>2}\left(1-{1\over(p-1)^2}\right). $$