MLE de Gamma desplazada

Question

Sea $X = (X_1,\dots, X_n)$ y $X_1,\dots, X_n$ ser i.i.d Gamma( $p,a,A$ ) donde $p$ y $a$ son conocidos. Hallar el MLE de $\theta =A$ .

Tenemos \begin{align*} f_{\theta}(x) &=\prod_{i =1}^n \frac{1}{\Gamma(p)}x_i^{p-1}\frac{1}{a^{p-1}}\exp\Big\{-\frac{x_i}{a}\Big\}{1}_{[A,\infty]}(x_i)\\ &=\Bigg(\frac{1}{\Gamma(p)^na^{n(p-1)}}\exp\Big\{-\frac{1}{a}\sum_{i = 1}^nx_i\Big\} \prod_{i = 1}^nx_i^{p-1} \Bigg){1}_{[A,\infty]}(x_{[1]}) \end{align*} Así \begin{align*} L(\theta;x) = \Bigg(\frac{1}{\Gamma(p)^na^{n(p-1)}}\exp\Big\{-\frac{1}{a}\sum_{i = 1}^nx_i\Big\} \prod_{i = 1}^nx_i^{p-1} \Bigg){1}_{[-\infty,x_{[n]}]}(A) \end{align*} No sé a dónde ir

Answer 1

Escribamos primero una densidad para una parametrización de forma de escala para una Gamma y luego desplacémosla. Tomando la densidad de Wikipedia (que la tiene correcta), pero haciendo la variable $z$ en lugar de $x$ :

$$f(z;\alpha ,\theta )=\frac{z^{\alpha -1}e^{-z/\theta }}{\theta ^{\alpha }\Gamma (\alpha )}\quad {\text{ for }}z>0,\quad \alpha ,\theta >0$$

Traduciendo a la parametrización y notación que utiliza tu libro (aparte de la variable):

$$f(z;p ,a )=\frac{z^{p -1}e^{-z/a }}{a ^{p }\Gamma (p )}\, \mathbb{1}_{[0,\infty]},\quad p,a >0$$

Se puede ver inmediatamente que el libro tiene mal la gamma ordinaria simplemente poniendo $A=0$ y descubrir que les falta un factor de $a$ en el denominador. Esto surge debido al Jacobiano cuando se introduce el parámetro de escala; si se omite la cosa no se integra a 1 . Deberías comprobar por ti mismo mi afirmación integrándola (recondúcela a la forma de una integral gamma ordinaria, de la que conoces el valor).

Consideremos ahora lo que ocurre si se incrementa en $\delta$ (su $A$ ). Sea $X = Z+\delta$ Así que $Z=X-\delta$ y $dx = dz$ . Por lo tanto, la densidad se convierte en:

$$f(x;p ,a ,\delta)=\frac{(x-\delta)^{p -1}e^{-(x-\delta)/a }}{a ^{p }\Gamma (p )}\, \mathbb{1}_{[\delta,\infty]},\quad p,a >0,\: \delta \in \mathbb{R}$$

Que ahora difiere del libro en varios aspectos. El libro está equivocado. (Un poco de experiencia con familias a escala de localización se lo dirá a simple vista).

Si te aseguras de empezar con una densidad correctamente especificada (es decir, empezando con la frase "gamma desplazada" y calculando cuál debe ser su densidad), sacarás más partido al ejercicio. No confíes en que el libro sea correcto.