Prueba de una igualdad que coseno $\sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}\ =\ 2\cos (\pi/2^{n+1})$

Question

así que me topé con esta ecuación o fórmula, y no tengo idea de cómo demostrarlo. No sé cómo debo enfoque: $$ \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots + \sqrt{2 + \sqrt{\vphantom{\large Un}2\,}\,}\,}\,}\ =\ 2\cos\left(\vphantom{\Large A}\pi \más de 2^{n + 1}\right) $$

donde $n\in\mathbb N$ y el signo de la raíz cuadrada aparece $n$-veces.

Pensé acerca del uso de las secuencias y los límites, para expresar la LHS, como la recurrencia de la relación, pero yo no llegué a ningún lado.

edit: Solucionado, gracias por sus respuestas y comentarios.

Answer 1

Sugerencia:

Utilizar la inducción y la fórmula de medio ángulo de coseno.

Solución:

$n=1$, La afirmación es verdadera, desde $\cos(\pi/4)=\sqrt{2}/2$. Por el % de fórmula de medio ángulo $$2\cos(x/2)=\sqrt{2+2\cos(x)}$$ por tanto $$\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}=\sqrt{2+2\cos\left(\frac{\pi}{2^n}\right)}=2\cos\left(\frac{\pi}{2^{n+1}}\right)$ $ donde en la izquierda raíz cuadrada expresiones que son raíces cuadradas de $n$ y en la primera igualdad hemos usado la hipótesis de inducción que la reclamación tiene $n-1$.