Transformación de variables aleatorias

Question

¿Cuál es la función de distribución de probabilidad de la variable $y$ dada por $$y=\frac{x_1}{x_1-x_2},\quad \: x_i\ge 0,$$

dado que $x_1$ y $x_2$ son independientes e idénticamente distribuidos y $$x_i = c+z_i,\quad i=1,2 $$ donde $c$ es una constante real no negativa y $z_i\sim\chi^2_\nu$ .

Answer 1

Me temo que no hay una respuesta sencilla y que esta distribución va a quedar un poco "fea". Lo que podría hacer es

1. Calcular la distribución de la diferencia $z_1-z_2$ utilizando un convolución .
2. Calcular la distribución de la suma $z_1+c$ mediante un cambio de variable.
3. Calcular la distribución del relación $\dfrac{z_1+c}{z_1-z_2}$ .

Puedes echar un vistazo a este código R para averiguar cómo es la densidad.

z1 = rchisq(10000,10)
z2 = rchisq(10000,10)
c = 10
y = (z1+c)/(z1-z2)
hist(y)
plot(density(y))

Mis mejores deseos.