¿Cómo abordar este problema de combinatoria?

Question

Usted tiene $12$ diferentes sabores de helado. Quieres comprar $5$ bolas de helado, pero quieres que al menos una sea de chocolate y además no quieres más de $2$ bolas por sabor. ¿De cuántas maneras se puede elegir el $5$ ¿Bolas?

Answer 1

Calcular el coeficiente de $x^5$ en $$(x^1+x^2)(x^0+x^1+x^2)^{11}$$

Answer 2

Decida si el chocolate será doble ( $c=1$ ) o un único ( $c=0$ ).

Si $c=0$ coge una bola de chocolate. Decide cuántos "dobles" $d\in\{0,1,2\}$ que quieras y haz una de $11 \choose d$ opciones específicas sobre los sabores distintos del chocolate que desea. Estos $d$ colores y el chocolate están ahora fuera de los límites, así que elige $5-1-2d=4-2d$ colores de cada uno de los restantes $12-d-1=11-d$ opciones legales.

Si $c=1$ coge dos bolas de chocolate. Decide cuántas "dobles sin chocolate". $d\in\{0,1\}$ que quieras y haz una de $11 \choose d$ opciones en cuanto a los sabores que no sean de chocolate. Estos $d$ colores y el chocolate están ahora fuera de los límites, así que elige $5-2-2d=3-2d$ sabores de cada uno de los $12-d-1=11-d$ opciones legales.

$$\sum_{d=0,1,2} {11 \choose d}{{11-d} \choose {4-2d}} + \sum_{d=0,1} {11 \choose d}{{11-d} \choose {3-2d}}$$

$$= {11 \choose 2} + \sum_{d=0,1} {11 \choose d} \left[{{11-d} \choose {4-2d}} + {{11-d} \choose {3-2d}}\right]$$

que es $55 + [1*495 + 11*55]=1155$ .

Answer 3

Esto es lo mismo que el número de soluciones de $\sum_{i=1}^{12} x_i=5$ donde $1x_12$ y para el otro $x_i$ 's $0x_i2$ que es el mismo que el coeficiente de $x^5$ en $(x^1+x^2)(x^0+x^1+x^2)^{11}$

Answer 4

También puedes responder a esta pregunta contando cuidadosamente Caso por caso dividiendo en exactamente dos pares de sabores, un par de sabores y ningún par.

$$C_1,P_1,P_1,P_2,P_2 = 1*12*11$$ $$C_1,P_1,P_1,P_2,P_3=1*12*11*10/2!$$ $$C_1,P_1,P_2,P_3,P_4=1*12*11*10*9/4!$$

¿Cuántas de estas vías conducen a más de $2$ ¿chocolates?

Si $$P_1=C$$ que para el primer caso puede ocurrir $11$ maneras, puede darse el segundo caso $11*10/2!$ maneras y el último caso no puede suceder si sólo $P_1=C$

¿Y si $P_2=C$ el primer caso puede darse en $11$ vías y la segunda caso puede ocurrir de 11*10/2! maneras.

Si $P_3,P_4=C$ entonces no tenemos $3$ o más chocolates, ¡así que hemos terminado! La respuesta final es $$12*11+12*11*10/2! +12*11*10*9/4!-11*10/2!-11-11-11*10/2!=1155$$

Answer 5

Creo que la forma más obvia y directa de resolver esto es utilizar la combinación "con repetición"/"estrellas y barras" y luego restar todos los casos inaplicables. ( https://en.wikipedia.org/wiki/Combination#Number_of_combinations_with_repetition ). $\space$ La fórmula para seleccionar $r$ de $n$ es ${{n+r-1}\choose r}$ . $\space$ (Me gusta pensar que esto es como seleccionar $r$ artículos" de la $n+r-1$ 'paredes' y 'elementos' y luego dejar que el $n-1$ 'paredes' 'caen en su sitio').

Dividiendo en casos en los que hay una bola de chocolate y más de una.

Una bola de helado de chocolate:

$11$ sabores entre los que elegir. ¿Es la combinación "con repetición" con $n=11$ y $r=4$ y luego restar todos los casos inaplicables. (Todos los casos - casos en los que hay $3$ de $1$ sabor y $1$ de otro - casos en los que hay $4$ de un sabor):

${{11+4-1=14}\choose 4}-{11\choose 1}{10\choose 1}-{11\choose 1}=1001-110-11=880$

Dos bolas de helado de chocolate:

$11$ sabores entre los que elegir. ¿Es la combinación "con repetición" con $n=11$ y $r=3$ y luego restar todos los casos inaplicables. (Todos los casos - casos en los que hay $3$ de $1$ sabor):

${{11+3-1=13}\choose 3}-{11\choose 1}=286-11=275$

Por un total de $1155$ .