Distribución de una transformación de una variable aleatoria

Question

He empezado por esto:

$F_Y(Y)=P(Y\leq y)=P(X^2 \leq y).$ Ahora, me han dicho que $P(X^2 \leq y) = P(- \sqrt y \leq X \leq \sqrt y) $ . No entiendo muy bien a qué se debe y cualquier ayuda será bien recibida.

Answer 1

Seguir el comentario de TenaliRaman

$X^2\le y\Leftrightarrow |X|\le\sqrt{y}\Leftrightarrow -\sqrt{y}\le X \le \sqrt{y}$ y $y \in [0,1]$

$$F(y)=P(Y<y)=P(X^2<y)=P(-\sqrt{y}\le X \le \sqrt{y})=\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}|x|dx=\int_{-\sqrt{y}}^{0}-xdx+\int_{0}^{\sqrt{y}}xdx=-\frac{1}{2}x^2\mid_{-\sqrt{y}}^{0}+\frac{1}{2}x^2\mid_{0}^{\sqrt{y}}=y$$

Puede ver $F(y)=y$ y $y \in [0,1]$

Esto demuestra $Y\sim U(0,1)$