Altura del triángulo dentro de un paralelogramo

Question

Estoy perplejo con la siguiente pregunta

PQRS es un paralelogramo y ST=TR. Cuál es la relación entre el área del triángulo QST y el área del paralelogramo (Respuesta 1:4)

Necesito la altura del triángulo, ¿cómo la obtengo? Agradecería cualquier sugerencia.

Answer 1

$$A_T=\frac{1}{2}\overline{ST}\,\overline{QH}=\frac{1}{2}\,\frac{1}{2}\overline{SR}\,\overline{QH}=\frac{1}{4}A_P$$

donde $H$ es la proyección ortogonal de $Q$ en la línea que contiene $S$ y $R$ .

Answer 2

La diagonal divide el paralelogramo en dos partes de igual área. De hecho, $\triangle SRQ$ y $\triangle QPS$ son congruente (tienen lados iguales).

Mira $\triangle STQ$ y $\triangle TRQ$ . Piensa que tienen bases $ST$ y $TR$ . Entonces tienen la misma altura. Puesto que $ST=TR$ también tienen bases iguales, por lo que tienen la misma área.

Así, nuestro sombreado $\triangle STQ$ tiene la mitad de superficie que $SRQ$ que tiene la mitad del área del paralelogramo. Por lo tanto, el área de $\triangle STQ$ es $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}$ Eso es, $\frac{1}{4}$ del área del paralelogramo.

Observación: La altura del paralelogramo no puede calcularse a partir de la información dada. Pero no la necesitamos para hallar la relación de las zonas.