Importancia de $\sigma$ -medidas finitas

Question

Desde Wikipedia :

La clase de $\sigma$ -medidas finitas tiene algunas propiedades muy convenientes; $\sigma$ -La finitud puede compararse, en este sentido, con la separabilidad de espacios topológicos. Algunos teoremas del análisis requieren la finitud como como hipótesis. Por ejemplo, tanto el teorema de Radon-Nikodym como el de Fubini de Fubini no son válidos si no se presupone la $\sigma$ -finitura (o algo similar) en las medidas implicadas.

Aunque las medidas que no son -finitas a veces se consideran patológicas, ...

Me preguntaba qué hace $\sigma$ -medidas finitas tan naturales para los matemáticos ( suelen pensar en ellos en primer lugar cuando se trata de medidas mientras que yo, como lego, no tengo ese instinto), bien comportado (como opuesto a "patológico") e importante (apareciendo en condiciones en muchos teoremas como el de Radon-Nikodym, la descomposición de Lebesgue y los Teoremas de Fubini)?

¿En qué sentido/respeto, puede $\sigma$ -¿se puede comparar la finitud con la separabilidad de los espacios topológicos?

Por ejemplo, ¿la mayoría o todas las propiedades que son verdaderas para las medidas finitas también lo son para $\sigma$ -finito, pero no para medidas infinitas generales? En caso afirmativo, ¿por qué?

Todo lo anterior se debe a equivalencia de $\sigma$ -medidas finitas a medidas de probabilidad ? En caso afirmativo, ¿cuál es el motivo?

Gracias y saludos.

Answer 1

Cuando se trata de intuición, $\sigma$ -La finitud es una propiedad que puede decirse que forma parte de la intuición de las medidas en primer lugar. Que un conjunto tenga "tamaño infinito" significa intuitivamente que está formado por muchas partes de tamaño pequeño, no por pocas partes de "tamaño infinito". Existen otras clases de espacios de medidas que siguen esta intuición hasta cierto punto (espacios de medidas estrictamente localizables), pero $\sigma$ -la finitud es la más natural.

Ahora dejemos que $(X,\Sigma,\mu)$ ser un $\sigma$ -espacio de medida finita. Entonces existe una familia contable de espacios de medidas finitas $(X_i,\Sigma_i,\mu_i)$ tal que

1. el $X_i$ partición $X$ ,
2. un conjunto $A$ está en $\Sigma$ si y sólo si $A\cap X_i\in\Sigma_i$ para todos $i$ ,
3. y luego $\mu(A)=\sum_i\mu_i(A\cap X_i)$ .

Así que se puede pensar en $\sigma$ -espacios de medida finita como una familia de espacios de medida finita que yacen "uno al lado del otro". El hecho de que sólo haya un número contable de ellos garantiza que su combinación funcione bien. Esta descomposición hace evidente, por ejemplo, que el teorema de Radon-Nikodym para $\sigma$ -no es más general que el teorema de Radon-Nikodym para espacios de medida finita.

Por fin: No creo que haya que hacer demasiada anología con los espacios topológicos separables, hay condiciones en la teoría de la medida que pueden verse más naturalmente como un análogo de la separabilidad (ser contablemente generado y tener tipo Maharam contable).

Answer 2

Centraré mi respuesta en las propiedades que son ciertas para los espacios de medidas finitas pero no $\sigma$ -finitos. Recordemos el teorema de Egoroff:

Dejemos que $(X,\mathcal A,\mu)$ un espacio medido finito, y $\{f_n\}$ una secuencia de funciones medibles de $X$ a $\mathbb R$ dotado de la Borel $\sigma$ -Álgebra. Si $f_n\to 0$ casi en todas partes, entonces para cada $\varepsilon>0$ podemos encontrar $A_{\varepsilon}\in\mathcal A$ tal que $\mu(X\setminus A_{\varepsilon})\leq\varepsilon$ y $\sup_{x\in A_{\varepsilon}}|f_n(x)|\to 0$ .

Ya no es cierto si $(X,\mathcal A,\mu)$ no es finito. Por ejemplo, si $X=\mathbb R$ , $\mathcal A=\mathcal B(\mathbb R)$ y $\mu=\lambda$ es la medida de Lebesgue, tomando $f_n(x)=\begin{cases}1&\mbox{ if }n\leq x\leq n+1,\\\ 0&\mbox{otherwise}, \end{cases}$ podemos ver que $f_n\to 0$ casi en todas partes, pero si $A$ es tal que $\lambda(\mathbb R\setminus A)\leq 1$ entonces $\mu(A)=+\infty$ Por lo tanto $A\cap [n,n+1]$ tiene una medida positiva para infinitos $n$ , digamos que $n=n_k$ Así que $\sup_A|f_{n_k}|\geq \sup_{A\cap [n_k,n_k+1]}|f_{n_k}|=1$ .

Una explicación podría ser la siguiente: si $(X,\mathcal A,\mu)$ es $\sigma$ -finito, $\{A_n\}$ es una partición de $X$ en conjuntos de medidas finitas, y una secuencia converge en casi todas partes en $X$ entonces tenemos la convergencia en medida en cada $A_n$ : para $k$ y para un $\varepsilon>0$ podemos encontrar un $N(\varepsilon,k)\in\mathbb N$ tal que $\mu(\{|f_n|\geq \varepsilon\}\cap A_k)\leq \varepsilon$ si $n\geq N(\varepsilon,k)$ . El problema, como muestra el contraejemplo, es que este $N$ no puede elegirse independientemente de $k$ .

Otro resultado:

Dejemos que $(X,\mathcal A,\mu)$ un espacio medido finito, y $\{f_n\}$ una secuencia que converge casi siempre a $0$ . Entonces $f_n\to 0$ en medida.

Podemos utilizar el mismo contraejemplo anterior.

Inclusiones entre $L^p$ espacio puede cambiar si el espacio medido es finito. Si $(X,\mathcal A,\mu)$ es un espacio medido finito, entonces para $1\leq p\leq q\leq \infty$ tenemos $L^q(X,\mathcal A,\mu)\subset L^p(X,\mathcal A,\mu)$ , como La desigualdad de Hölder espectáculos. Pero con $X=\mathbb N$ , $\mathcal A=2^{\mathbb N}$ y $\mu$ la medida de recuento, tenemos para $1\leq p\leq q\leq \infty$ , $\ell^p\subset l^q$ por lo que las inclusiones se invierten.

Answer 3

Bueno, en primer lugar, la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}^n$ y la medida de recuento en $\mathbb{Z}^n$ son ambos $\sigma$ -finito, así que al menos es un escenario familiar. Yo diría que $\sigma$ -La finitud es buena por la misma razón que todas las condiciones de finitud son buenas: facilitan las pruebas y los espacios razonables las satisfacen. A $\sigma$ -El espacio de medida finita es uno que puede ser agotado por una secuencia de espacios de medida finita, lo que los hace lo suficientemente "cercanos" a los espacios de medida finita como para que muchas pruebas pasen en este entorno que no pasan en un entorno más general.

$\sigma$ -La finitud es realmente más análoga a $\sigma$ -compacidad que a la separabilidad, pero ambas condiciones afirman que un espacio puede ser "analizado contablemente" en algún sentido.