¿Cómo puede $\mathcal{L}^1$ -convergencia de una serie de $\mathcal{L}^1$ implican que $\sup_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{E}[|X_n|] < \infty$ ?

Question

Sea $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sea una serie de variables aleatorias con $\forall i: X_i \in \mathcal{L}^1(\Omega, \mathfrak{F}, P)$ y $X_n \rightarrow^{\mathcal{L}^1}X$ . ¿Cómo demuestro entonces que $\sup_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{E}[|X_n|] < \infty$ ?

Answer 1

Sugerencia: escriba $$\sup_i\mathbb E|X_i|\leqslant \max_{1\leqslant j\leqslant N}\mathbb E|X_i|+\sup_{j\geqslant N}\mathbb E|X_j-X|+\mathbb E|X|.$$ Si $N$ se elige de forma que $\sup_{j\geqslant N}\mathbb E|X_j-X|\lt 1$ obtenemos $$\sup_i\mathbb E|X_i|\leqslant \max_{1\leqslant j\leqslant N}\mathbb E|X_i|+1+\mathbb E|X|.$$