convergencia del producto

Question

Sea $I$ un intervalo en $\mathbb{R}$

Sea $f_n$ limitado en $H^1(I),$ entonces podemos extraer una subsecuencia como $f_n \rightarrow f$ fuertemente en $L^2(I)$

2- Deja $g_n$ limitado en $L^{\infty}(I)$ y podemos extraer una subsecuencia como $g_n \rightharpoonup g$ estrella débil en $L^{\infty}(I)$

3- y que $u_n$ como $u_n \rightharpoonup u$ débilmente en $H^1_0(I)$

mi pregunta es: Como podemos justificar que, cuando pasamos a un límite en la ecuación $g_n(x) f_n(x) = \dfrac{d u_n}{dx}$ obtenemos $g(x) f(x) = \dfrac{d u}{dx}$ ?

Answer 1

En primer lugar, demostramos que (una subsecuencia de) $f_n \, g_n$ converge débilmente en $L^2(I)$ . De hecho, para cualquier $v \in L^2(I)$ tenemos $f_n \, v \to f \, v$ en $L^1(I)$ . Por lo tanto $\int_I g_n \, f_n \, v \, dx \to \int_I g \, f \, v \, dx$ . Esto demuestra $f_n \, g_n$ converge débilmente en $L^2(I)$ .

Además, $du_n/dx = u_n'$ converge débilmente en $L^2(I)$ a $u'$ .

Por lo tanto, el término $f_n \, g_n = u_n'$ converge débilmente en $L^2(I)$ hacia $f \, g$ y $u'$ . Concluimos $f \, g = u'$ (en el sentido de a.e.).

Tenga en cuenta que es posible relajar sus supuestos. Además, también se puede demostrar que toda la secuencia $f_n \, g_n$ converge débilmente.