Tengo una pregunta para un ejercicio - para el cual tengo una solución equivocada - y quería pedirles que me ayuden a entender mi error de pensamiento. El ejercicio era el siguiente:
Sea $a, b, n \in \mathbb{N}$ . Demuestre que $\gcd(a,b) = \gcd(a,b+na)$ .
Mi solución fue (en pocas palabras):
- Sea $d := \gcd(a,b)$ .
- Entonces demostré que $d$ es un divisor común de ambos $a$ y $b + na$
- Entonces demostré, que cualquier divisor común $c$ de $a$ y $b+na$ es menor o igual que $d$
- Después de eso, llegué a la conclusión de que por definición $d = \gcd(a,b+na)$ y con la definición de $d$ Habría $\gcd(a,b) = \gcd(a,b+na)$ así que mi prueba estaba completa.
Sin embargo, mi tutor no aceptó la prueba. Me enseñó la prueba "correcta", en la que tendría que haber $d := \gcd(a,b)$ y $e := \gcd(a,b+na)$ y luego demostrar $d \leq e \leq d$ .
De todos modos, entiendo su prueba. Pero sigo sin entender dónde está mi error de pensamiento. Después de todo, si mi punto de partida sería, digamos, $d := 9$ y hubiera podido mostrar los pasos después, entonces podría concluir $9 = \gcd(a,b+na)$ ¿No?
Cualquier comentario será bienvenido, ¡muchas gracias de antemano!
EDITAR ¡Vaya, habéis respondido rápido! Muchas gracias. Volveré a preguntar a mi tutor el jueves. En aras de la exhaustividad, voy a formular mi prueba completa (mi prueba original está en alemán, así que tal vez habrá algo perdido en la traducción, la [Referencia] son referencias a nuestro guión).
Sea $a,b,n \in \mathbb{N}$ . Sea $d := \gcd(a,b)$ . Por definición significa $d \mid a$ y $d \mid b$ por lo que con [Referencia] se cumple lo siguiente: $d \mid (b + na)$ . Por lo tanto, $d$ es un divisor común de ambos $a$ y $b + na$ . Demostraremos ahora, que $d$ es el máximo común divisor.
Sea $c$ sea cualquier divisor común de $a$ y $b + na$ . Por lo tanto, $c$ divide $a$ y como tal $c \mid na$ y por ello $c \mid ((b + na) - na) = b$ (de nuevo debido a [Referencia]). Así que $c$ divide $b$ por lo que $c$ es un divisor común de ambos $a$ y $b$ . Desde $d$ era el máximo común divisor de $a$ y $b$ tenemos $c \leq d$ .
Por definición del máximo común divisor obtenemos $d = \gcd(a,b+na)$ .
Fin de la prueba. Mi tutor escribió, que sólo mostré $\gcd(a,b+na) \leq \gcd(a,b)$ y también hay que mostrar la otra dirección. Hoy me ha enseñado la prueba "correcta"/"ideal". Pero le preguntaré de nuevo el jueves.
