Variedad afín como subconjunto de otra variedad afín

Question

Intento comprender por qué es cierta la siguiente afirmación:

Si $S$ y $S'$ son subconjuntos de $\mathbb{K}[X_1,...,X_n]$ tal que $S\subseteq S'$ entonces $\mathcal{V}(S') \subseteq \mathcal{V}(S)$ .

¿Puede alguien proporcionar un ejemplo de dos conjuntos polinómicos con sus variedades, de manera que pueda entender por qué esto es cierto?

Answer 1

Lo que tienes que darte cuenta es que intuitivamente, los conjuntos de fuga $V(S)$ son esencialmente las incrustaciones de sus polinomios en $n$ -espacio dimensional.

Así, por ejemplo, tomemos $S=\{Y-2X\}\subseteq \mathbb{R}[X,Y]$ . Entonces

$$V(S)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y-2x=0\}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y=2x\}$$

y ves que $V(Y-2X)$ sólo representa la línea $y=2x$ en el avión.

¿Qué ocurre si tenemos más de un polinomio? Entonces se convierte en donde sus curvas intersect en el avión.

Por lo tanto $S'=\{Y-2X,Y-4\}$ . Entonces

$$V(S')=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y-2x=y-4=0\}=\{(2,4)\}$$

donde obtenemos el punto $(2,4)$ a partir de la resolución de la ecuación $y-2x=y-4=0$ . Esto representa el hecho de que $(2,4)$ es el único punto de intersección de las dos rectas $y=2x$ y $y=4$ .

Por supuesto, este punto es un subconjunto del conjunto de soluciones de $y=2x$ por lo que, en particular, vemos $V(S')\subset V(S)$ .