Para el polinomio

Question

Para el polinomio, -2 es un cero. $h(x)= x^3+8x^2+14x+4$ . Express $h(x)$ como producto de factores lineales.

¿Puede alguien explicarme y ayudarme a resolverlo?

Answer 1

Aplicar la división euclidiana de $x^3+8x^2+14x+4$ y $x+2$ y lo conseguirás: $$x^3+8x^2+14x+4=(x+2) \cdot (x^2+6x+2)$$ A continuación, hallar las raíces de $x^2+6x+2=0$

Answer 2

Sugerencia $\ $ Puedes deducir la suma y el producto de las otras 2 raíces porque conoces la suma y el producto de las 3 raíces (a partir de los coeficientes, por Vieta).

Answer 3

Como es una ecuación cúbica, estás viendo $$(x+A).(x+B).(x+C)=x^3+8x^2+14x+4$$

Obviamente, hay que multiplicar y trabajar duro para resolverlo y obtener la respuesta.

Alternativamente, lo que puedes hacer es representar lo mismo que

$$x^3+8x^2+12x+2x+4=0$$

O, $$x(x^2+8x+12)+2(x+2)$$ O, $$x(x+6)(x+2)+2(x+2)$$ O, $$(x+2)(x(x+6)+2)$$ O, $$(x+2)(x^2+6x+2)$$

Resolviendo la segunda ecuación para x obtendremos $$x= -3 +\sqrt{7}$$

y $$x=-3-\sqrt{7}$$

y $$x=-2$$

Answer 4

Pista: $a$ es una raíz del polinomio $f(x)$ si y sólo si el polinomio $x-a$ divide $f(x)$ . Así que si divides $h(x)$ por $x+2$ se obtiene un polinomio de grado $2$ . ¿Sabes encontrar las raíces de un polinomio de grado $2$ ?

Answer 5

Bien, lo primero que hay que hacer es la división polinómica (o sintética, como prefieras).

Como -2 es un 0, sabemos que $(x+2)$ es un factor de $h(x)$ . A continuación, dividimos $h(x)$ por $(x+2)$

Dividiendo: $$\frac{x^3 + 8x^2 + 14x + 4}{x+2} = x^2 + 6x + 2$$

Así que $h(x)$ se convierte: $$(x+2)*(x^2+6x+2)$$

Ahora debes utilizar la fórmula cuadrática para encontrar la raíz de $x^2 + 6x +2$

$$x = \frac{-6 +/- \sqrt{28}}{2}$$ $$x = -3 +/- \sqrt{7}$$

Así que $h(x)$ es $$(x+3+\sqrt{7})(x+3-\sqrt{7})(x+2)$$