Dado r.v uniformemente distribuida n ' s, ¿qué es el PDF para una v.a. dividido por la suma de r.v n todo ' s?

Question

Estoy interesado en el siguiente tipo de caso: hay 'n' aleatorias continuas variables que se deben sumar 1. Lo que luego sería el PDF para cualquier individuo de estas variables? Por lo tanto, si $n=3$, entonces estoy interesado en la distribución de $\frac{X_1}{X_1+X_2+X_3}$ donde $X_1, X_2$, e$ X_3 $todos están distribuidos de manera uniforme. La media de curso, en este ejemplo, se $1/3$, ya que la media es sólo $1/n$, y aunque es fácil de simular la distribución en R, no sé cuál es la real de la ecuación para el PDF o CDF.

Esta situación está relacionada con el Irwin-Hall de distribución (https://en.wikipedia.org/wiki/Irwin%E2%80%93Hall_distribution). Sólo Irwin-Hall es la distribución de la suma de n uniforme de variables aleatorias, mientras que me gustaría que la distribución de uno de n uniforme r.v dividido por la suma de las n variables. Gracias.

Answer 1

Los puntos de desempate en el dominio hacen algo desordenado. Es un enfoque simple pero tedioso construir el resultado final. Por $n=3,$ $Y=X_2 + X_3,$ $W = {{X_2 + X_3} \over X_1},$ y $T = 1 + W.$ % entonces $Z = {{1} \over {T}}={{X_1} \over {X_1 + X_2 + X_3}}.$

Son los puntos de desempate en 1 $Y,$ 1 y 2 $W,$ 2 y 3 $T,$ y $1/3$ y $1/2$ $Z.$ encontré el pdf completo que

$$f(z) = \begin{cases} \ \ \ \ \ {{1} \over {(1-z)^2}} \ , & \text{if} \ {0} \leq z \leq {1/3} \\\\ {{3z^3-9z^2+6z-1} \over {3z^3(1-z)^2}} \ , & \text{if} \ {1/3} \leq z \leq {1/2} \\\\ \ \ \ \ \ \ \ {{1-z} \over {3z^3}} \ , & \text{if} \ {1/2} \leq z \leq {1} \end{cases}$$

La cdf puede encontrarse entonces como %#% $ #%

Answer 2

Que $Y=\sum_{i=2}^n X_i$. Podemos encontrar la FCD de $X_1/\sum_{i=1}^n X_i$ calculando\begin{align*} P(\frac{X_1}{\sum_{i=1}^n X_i} \leq t) &= P(X_1 \leq t\sum_{i=1}^n X_i) \\ &= P((1-t)X_1 \leq t\sum_{i=2}^n X_i) \\ &= P(X_1 \leq \frac t{1-t}Y)\\ &= \int_0^1 P(x_1 \leq \frac t{1-t}Y)\ dx_1\\ &= \int_0^1 (1-F_Y(\frac{1-t}{t}x_1))\ dx_1\\ &= 1-\int_0^1 F_Y(\frac{1-t}{t}x_1)\ dx_1\\ \end{align*} luego distinguir y sustituir el Irwin Hall pdf para obtener el pdf deseado:\begin{align*} f(t) &= \int_0^1 f_Y(\frac{1-t}{t}x_1)\cdot \frac{x_1}{t^2}\ dx_1\\ &= \frac{1}{t^2}\int_0^{1\wedge \frac{(n-1)t}{1-t}} \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{1-t}{t}x_1\rfloor}\frac1{(n-2)!}(-1)^k\binom{n-1}k(\frac{1-t}{t}x_1-k)^{n-1} x_1\ dx_1 \end{align*} de aquí se pone un poco desordenado, pero debe ser capaces de intercambiar el integral y el sumatorio y llevar a cabo una sustitución (por ejemplo, $u=\frac{tx_1}{1-t}-k$) para evaluar la integral y por lo tanto obtener una fórmula explícita para el pdf.

Answer 3

Suponiendo

"el N distribuciones uniformes no suma de a 1".

Así es como empecé(incompleta):

Considere la posibilidad de $Y = \sum_{i=1}^n X_i$ y deje $X=X_i$ por un ligero abuso de notación.

Considerar, $U = \frac{X}{Y}$$V =Y$:

$$ X=UV\\ Y=V $$

A continuación, las siguientes transformación de variables:

$$ J = \begin{bmatrix} V & U\\ 0 & 1 \end{bmatrix} $$

La probabilidad conjunta de la función de $(U,V)$ está dada por:

$f_{U,V}(u,v) = f_{X,Y}(uv,v)|J|$

Donde $X \sim U(0,1)$ $Y \sim IrwinHall$

$$ f_X(x) = \begin{cases} 1 & 0 \leq x\leq 1\\ 0 & otherwise \end{casos} $$

Y, $$ f_Y(y) = \frac{1}{2(n-1)!}\sum_{k=0}^n(-1)^k {n\elegir k}(x-k)^{n-1} signo de(x-k) $$

Por lo tanto, $$ f_{U,V}(u,v) = \begin{cases} \frac{1}{2(n-1)!}\sum_{k=0}^n(-1)^k {n\choose k}(uv-k)^{n-1} sign(uv-k) & 0 \leq uv \leq 1\\ 0 & otherwise \end{casos} $$

y $f_U(u) = \int f_{U,V}(u,v) dv$

Answer 4

Supongamos que ya sabemos suma de $U(0,1)$ tiene un Irwin-Hall de distribución. Ahora tu pregunta cambios a encontrar el pdf (CDF) de $\frac{X}{Y}$ cuando X tenía un $U(0,1)$ distribución y $Y$ tiene un Irwin-Hall de distribución.

Primero tenemos que encontrar la articulación pdf de $X$$Y$.

Deje $Y_1=X_1\\Y_2=X_1+X_2\\Y_3=X_1+X_2+X_3$

Entonces

$X_1=Y_1\\X_2=Y_2-Y_1\\X_3=Y_3-Y_2-Y_1$

$\therefore$

$J=\begin{vmatrix} \frac{\partial X_1}{\partial Y_1} & \frac{\partial X_1}{\partial Y_2} &\frac{\partial X_1}{\partial Y_3} \\ \frac{\partial X_2}{\partial Y_1} & \frac{\partial X_2}{\partial Y_2} &\frac{\partial X_2}{\partial Y_3} \\ \frac{\partial X_3}{\partial Y_1} & \frac{\partial X_3}{\partial Y_2} &\frac{\partial X_3}{\partial Y_3} \end{vmatrix}=-1$

Desde $X_1, X_2, X_3$ son yo.yo.d con $U(0,1),$ por lo tanto, $f(x_1,x_2,x_3)=f(x_1)f(x_2)f(x_3)=1$

La distribución conjunta con $y_1,y_2,y_3$ es

$g(y_1,y_2,y_3)=f(y_1,y_2,y_3)|J|=1$

La próxima nos vamos a integrar a la $Y_2$ y podemos obtener la distribución conjunta de $Y_1$ $Y_3$ i.e la distribución conjunta de $X_1$ $X_1+X_2+X_3$

Como sugiere whuber ahora he cambiado el de los límites

$$h(y_1,y_3)=\int_{y_1+1}^{y_3-1} g(y_1,y_2,y_3)dy_2=\int_{y_1+1}^{y_3-1} 1 dy_2=y_3-y_1-2 \tag{1}$$

Ahora, sabemos que el conjunto pdf de $X,Y$ i.e conjunto pdf $X_1$$X_1+X_2+X_3$$y_3-y_1-2$.

La próxima vamos a encontrar el pdf de $\frac{X}{Y}$

Necesitamos otra transformación:

Deje $Y_1=X\\Y_2=\frac{X}{Y}$

A continuación, $X=Y_1\\Y=\frac{Y_1}{Y_2}$

Entonces

$J=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial y_1} & \frac{\partial x}{\partial y_2}\\ \frac{\partial y}{\partial y_1} & \frac{\partial y}{\partial y_2} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 0\\ \frac{1}{y_2} & -\frac{y_1}{y_2^2} \end{vmatrix}=-\frac{y_1}{y_2^2}$

ya tenemos la distribución conjunta de $X,Y$ a partir de los pasos anteriores ref (1).

$\therefore$

$g_2(y_1,y_2)=h(y_1,y_3)|J|=(y_3-y_1-2)\frac{y_1}{y_2^2}$

A continuación, vamos a integrar a la $y_1$ obtenemos el pdf de $y_2$ a continuación se obtienen los pdf de $\frac{X}{Y}$

$$h_2(y_2)=\int_0^1(y_3-y_1-2)\frac{y_1}{y_2^2}dy_1=\frac{1}{y_2^2}(\frac{y_3}{2}-\frac{1}{3}-1)\tag{2}$$

Este es el pdf de $X/Y$ i.e $\frac{X_1}{X1+X_2+X_3}$

No somos acabado todavía, lo que es $y_3$ (2) entonces?

Sabemos que $Y_3=X_1+X_2+X_3$ a partir de la primera transformación.

Así que al menos sabemos $Y_3$ tiene un Irwin-Hall de distribución.

Me pregunto ¿podemos conectar el Irwin-Sala para $n=3$ pdf a (2) para obtener una fórmula explícita? o podemos hacer algunas simulaciones a partir de aquí como Glen sugerido?