Supongamos que $X$ es una variedad algebraica compleja (o analítica compleja), y $x \in X$ es un punto singular. Me interesan dos tipos de formas diferenciales locales en $x$ : analítica y formal.
En primer lugar $\mathcal{O}_{X,x}^{\text{an}}$ sea el anillo de los gérmenes analíticos de funciones en $x$ . Me interesa el complejo $\Omega_{X,x}^{\text{an}}$ de gérmenes analíticos de formas diferenciales, es decir, combinaciones lineales de elementos $h_0 dh_1 \wedge \cdots \wedge dh_k$ para $h_0, \ldots, h_k \in \mathcal{O}_{X,x}^{\text{an}}$ y la correspondiente cohomología de Rham $H^\bullet(\Omega_{X,x}^{\text{an}})$ . Explícitamente, si $X \subseteq \mathbf{A}^n$ es una subvariedad del espacio afín recortada por las ecuaciones $f_1, \ldots, f_m$ este complejo se define como $\Omega_{\mathbf{A}^n,x}^{\text{an}} / (f_1, \ldots, f_m, df_1, \ldots, df_m)$ donde cotizamos por el ideal en el álgebra diferencial graduada de de Rham generada por el $f_i$ y $df_i$ .
A continuación $\hat {\mathcal{O}}_{X,x}$ sea la terminación del anillo local de funciones algebraicas en $x$ es decir, el anillo de series de potencias formales (no necesariamente convergentes) de funciones en $x$ . Sea $\hat {\Omega}_{X,x}$ sea el complejo de formas diferenciales formales, es decir, combinaciones lineales de elementos $h_0 dh_1 \wedge \cdots \wedge dh_k$ para $h_0, \ldots, h_k \in \hat {\mathcal{O}}_{X,x}$ . Para $X \subseteq \mathbf{A}^n$ se define como cociente de $\hat \Omega_{\mathbf{A}^n,x}$ de la misma manera que en el caso anterior.
Puesto que se tiene una inclusión canónica $\mathcal{O}_{X,x}^{\text{an}} \hookrightarrow \hat {\mathcal{O}}_{X,x}$ se obtiene un mapa de comparación canónico
$H^\bullet(\Omega_{X,x}^{\text{an}}) \to H^\bullet(\hat \Omega_{X,x}).$
Mi pregunta es: ¿Cuándo es este mapa un isomorfismo?
Me interesa especialmente el caso de que el LHS sea de dimensión finita, por ejemplo, cuando $X$ tiene una singularidad aislada en $x$ (la dimensionalidad finita del LHS se deduce entonces del Teorema de Sección 3.17 del artículo de Bloom y Herrera ``De Rham Cohomology of an Analytic Space,'' (Invent. Math. 7, 275--296 (1969)).
Más detalles y reformulaciones:
Bajo la hipótesis de dimensionalidad finita, el mapa de comparación es definitivamente suryectivo: el RHS es el límite inverso de $H^\bullet(\Omega_{X,x} / \mathfrak{m}_{X,x}^N \cdot \Omega_{X,x})$ donde $\mathfrak{m}_{X,x} \subseteq \mathcal{O}_{X,x}$ es el ideal máximo, y el LHS se desplaza a cada uno de ellos (por elevación de formas cerradas o exactas modulo $\mathfrak{m}_{X,x}^N$ a formas analíticas cerradas o exactas). Por tanto, ambos lados son finito-dimensionales y el mapa de comparación es suryectivo.
Así, bajo esta hipótesis, la pregunta se reduce a: Cuando es cierto que, si una forma analítica cerrada $\alpha \in \Omega_{X,x}^{\text{an}}$ es el diferencial de una forma formal en $\hat \Omega_{X,x}$ entonces también es el diferencial de una forma analítica en $\Omega_{X,x}^{\text{an}}$ ? (Tal vez podría aplicarse un teorema de aproximación analítica para responder a esta pregunta).
A continuación, restringiré esta cuestión al caso especial que me interesa: las singularidades aisladas que son intersecciones localmente completas. En este caso, por resultados de las secciones 4 y 5 del trabajo de Greuel ``Der Gauss-Manin-Zusammenhang isolierter Singularitaeten von vollstaendigen Durchschnitten,'' (Math. Ann. 214, 235--266 (1975)), se tiene la fórmula fórmula
$H^\bullet(\Omega_{X,x}^{\text{an}}) \cong \mathbf{C}^{\mu_x-\tau_x}[-\operatorname{dim} X],$
donde $\mu_x$ es el número de Milnor de la singularidad en $x$ y la notación anterior indica que la cohomología de Rham de la vecindad analítica de $x$ se concentra en grado igual a la dimensión de $X$ . También, $\tau_x$ es el número de Tjurina, que es la dimensión del anillo de singularidad en $x$ explícitamente, si $X$ es localmente una intersección completa de dimensión $n-m$ recortado en $x \in \mathbf{A}^n$ por funciones $f_1, \ldots, f_m$ entonces el anillo de singularidad es el cociente de $\mathcal{O}_{X,x}^{\text{an}}$ por el ideal generado por el $f_i$ junto con los determinantes de la $(n-m) \times (n-m)$ menores de la matriz jacobiana $(\frac{\partial f_i}{\partial x_j})$ . En otras palabras, el número de Tjurina es aquí la dimensión de la torsión de los gérmenes de las formas diferenciales $\Omega_{X,x}^{\operatorname{dim}(X),\text{an}}$ de grado $\operatorname{dim}(X)$ .
En este caso, sólo querría saber si la misma fórmula vale para la cohomología de de Rham de la vecindad formal, es decir, que la dimensión de $H^\bullet(\hat{\Omega}_{X,x})$ es igual al número de Milnor, y no menos.
[Los lectores que estén cansados de leer pueden detenerse aquí; daré una formulación alternativa más].
Alternativamente, se puede trabajar con el complejo de Rham módulo de torsión, $\tilde{\Omega}_{X,x}^{\text{an}}$ obtenido a partir de $\Omega^{\text{an}}_{X,x}$ modulando por el submódulo de torsión sobre $\mathcal{O}_{X,x}^{\text{an}}$ . Esto equivale a trabajar con gérmenes de formas módulo aquellas formas que se hacen cero cuando se restringen al locus liso, es decir, cuyos representantes en vecindades abiertas de $x$ tienen restricción cero a subconjuntos abiertos lisos. En este caso, la fórmula de Greuel (aún para una singularidad aislada en $x$ que es localmente una intersección completa) sigue siendo la misma,
$H^\bullet(\tilde{\Omega}_{X,x}^{\text{an}}) \cong \mathbf{C}^{\mu_x-\tau_x}[-\operatorname{dim} X].$
En la formulación alternativa, me gustaría saber de nuevo si la misma fórmula es válida sustituyendo los gérmenes analíticos de las formas mod torsión, $\tilde{\Omega}_{X,x}^{\text{an}}$ por formas formales mod torsión. Del trabajo de Greuel se deduce que, aún suponiendo $x$ es una singularidad aislada que localmente es una intersección completa, las dos preguntas son equivalentes.
