Cómo demostrar que $\big\{a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6}\mid a,b,c,d\in \mathbb{Q}\big\}$ es un campo.

Question

Cómo demostrar que $A=\big\{a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6}\mid a,b,c,d\in \mathbb{Q}\big\} \subset \mathbb{R}$ ¿es un campo? En particular, me pregunto cómo demostrar que $A^{*} = A \setminus \{0\}$ es decir, que cada elemento distinto de cero en $A$ tiene una inversa multiplicativa en $A$ .

Answer 1

$A$ es una dimensión finita $\bf Q$ -ya que está generado por elementos algebraicos.

Ahora bien, la multiplicación por cualquier $x=a+b\sqrt2+c\sqrt 3+d\sqrt 6\ne 0$ es un $\bf Q$ -que es inyectivo. En un espacio vectorial de dimensión finita, un mapa lineal es inyectivo si y sólo si es suryectivo. Por lo tanto $1$ se alcanza. En otras palabras, existen números racionales $e,f,g,h$ tal que $$(a+b\sqrt2+c\sqrt 3+d\sqrt 6)(e+f\sqrt2+g\sqrt 3+h\sqrt 6)=1.$$

Answer 2

En general, si $E/F$ es una extensión de campo y $\xi\in E$ satisface $\xi^2\in F$ entonces $\{a+b\xi: a,b\in F\}$ es un subcampo de $E$ es bastante fácil de comprobar. Y ahora tenga en cuenta que su conjunto es exactamente este conjunto para $F=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ y $\xi=\sqrt{3}$ .