La noción de morfismo proyectivo en geometría algebraica es sorprendentemente sutil. No está muy claro cuál es su definición. Por ejemplo, la definición de EGA difiere de la de Hartshorne. Para responder a esta pregunta, tomaré la definición de EGA $^1$ .
Supongamos que $f: X \rightarrow Y$ y $g: Y \rightarrow Z$ son morfismos proyectivos. Sé que $g \circ f$ es proyectivo si $Z$ es cuasicompacta (véase, por ejemplo, el ejercicio 18.3.B de la versión de agosto de 2012 de las notas aquí ). ¿Es cierto incluso sin $Z$ quasicompacto, ¿o hay algún contraejemplo?
(Sospecho que esto está en una de las fuentes estándar, pero no me he topado con ella).
$^1$ EGA II, 5.5.1-5.5.2: $X$ se denomina proyectivo sobre $Y$ si existe un $Y$ -inmersión $X \hookrightarrow \mathbb{P}(\mathcal{E})$ para alguna gavilla cuasi-coherente $\mathcal{E}$ en $Y$ de tipo finito; equivalentemente si $X=\mathrm{Proj}(A)$ para alguna cuasi-coherente graduada $\mathcal{O}_Y$ -álgebra $A$ generado por $A_1$ que es de tipo finito.
