¿Cualquier solución puramente geométrica para este problema?

Question

¿Lo que se muestra en la foto de arriba la mayor área posible dentro de un rectángulo (en unidades cuadradas) inscrita en el triángulo?

Answer 1

Sugerencia:

Se puede demostrar que cualquier rectángulo tiene el área en más de la mitad del área de un triángulo a través de algunos casos sencillos (por supuesto, siempre existe un rectángulo):

1. Dos lados paralelos. Para cualquier triángulo rectángulo, y un rectángulo con lados paralelos a los lados distintos de la hipotenusa: para maximizar el área que el rectángulo tiene que tener proporciones del triángulo.
   
2. Uno de los lados paralelos. Cualquier triángulo y un rectángulo con al menos uno de los lados paralelos a algún lado del triángulo: poner una línea perpendicular a ese lado que pasa a través de uno de los del triángulo de vértices (que no necesita ser de una altura) y utilizar el punto anterior.
3. Sin lados paralelos. Cualquier triángulo y un rectángulo: tomar una línea que pasa a través de uno de los del triángulo de vértices a y es paralela a uno de los lados del rectángulo, y el uso del punto anterior.

Espero que esto ayude a $\ddot\smile$

Answer 2

Permítanos generalizar el caso para obtener el mayor rectángulo inscrito en cualquier triángulo.

Deje $AB=b$$CF=h$. Deje $x$ $y$ ser la longitud y el ancho del rectángulo, respectivamente. Es fácil notar que $\Delta ABC\sim \Delta CDE$. Por lo tanto \begin{align} \frac{x}{b}&=\frac{h-y}{h}\\ x&=\frac{b(h-y)}{h}.\tag1 \end{align} El área del rectángulo es $xy$ y sustituyendo la ecuación $(1)$ $xy$obtendremos \begin{align} xy&=\frac{b(h-y)y}{h}\\ &=\frac{-b(y^2-hy)}{h}\\ &=\frac{-b\left(y-\dfrac12h\right)^2+\dfrac14bh^2}{h}.\tag2 \end{align} Puede ser visto a partir de la ecuación $(2)$ que el área del rectángulo será máxima cuando $y=\dfrac12h$, por lo tanto, la mayor área del rectángulo inscrito en cualquier triángulo es $\dfrac14bh$ o de la mitad del área del triángulo. Sustituyendo $y=\dfrac12h$ a de la ecuación de $(1)$ rendimientos $$ x=\frac{b\left(h-\dfrac12h\right)}{h}=\dfrac12b. $$ Por lo tanto, el área máxima del rectángulo se produce cuando los puntos medios de dos lados del triángulo que se unieron para hacer una de los lados del rectángulo.

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Ahora, vamos a $AB=21$, $BC=17$, y $AC=10$. Utilizando la fórmula del coseno, vamos a obtener $$ \cos A=\frac{10^2+21^2-17^2}{2\cdot10\cdot21}=\frac35\quad\Rightarrow\quad\sen A=\frac45. $$ El área de $\Delta ABC$ es $$ [\Delta ABC]=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sen A=84\text{ unidades cuadradas.} $$ Por lo tanto, el área máxima del rectángulo es $$ \frac12[\Delta ABC]=\large\color{blue}{42\text{ unidades cuadradas}}. $$

Answer 3

Deje $\triangle ABC$ ser el triángulo dado con $AB = 10$, $AC = 17$, y $BC = 21$. Elige un punto arbitrario $M$ sobre el lado de la $AB$, y deje $x = AM$. Deje $N$ ser el punto en $AC$ tal que $MN \parallel BC$, y los puntos de $P$, e $Q$ $BC$ tal que $NP \perp BC$, e $MQ \perp BC$. Por lo tanto $MNPQ$ es un rectángulo. Deje $h_a$ ser la longitud de la altura de $A$. Tenga en cuenta que $h_a$ es constante. La tenemos las siguientes proporciones:

$\dfrac{BM}{BA} = \dfrac{MQ}{h_a} \to \dfrac{10-x}{10} = \dfrac{MQ}{h_a} \to MQ = \dfrac{h_a}{10}\cdot (10-x)$. También:

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC} \to \dfrac{x}{10} = \dfrac{MN}{21} \to MN = \dfrac{21}{10}\cdot x$.

Deje $S(x)$ ser el área del rectángulo $MNPQ$, entonces:

$S(x) = MN\cdot MQ = \dfrac{21h_a}{100}\cdot x(10 - x)$. Desde:

$x + (10 - x) = 10$, una constante, $S$ alcanza un valor máximo cuando $x = 10 - x$ o $x = 5$.

A partir de esto, podemos resolver para $MN =\dfrac{21}{2}$, e $MQ = \dfrac{h_a}{2}$. Por lo tanto:

$S_{max} = \dfrac{21h_a}{4} = \dfrac{S_{\triangle ABC}}{2}$

Nota: $h_a$ puede ser calculada usando la fórmula de Heron.

Answer 4

Compartir un elegante enfoque proporcionado por el Dr. Shailesh Un Shirali.

• BC = a, CA = b, AB = c
• PQRS: rectángulo con PS ∥ BCand PQ ⊥ BC
• Triángulo de APS es similar al Triángulo ABC
• Vamos a AP/AB = t; entonces, COMO/AC = t y PS/BC = t
• Dimensiones del Triángulo de APS: ta,tb, tc
• AD es una altura del Triángulo ABC
• AD = h
• Altura del Triángulo APS: th (por similitud)
• PQ = h−ésimo = (1−t)h

Siguiendo la línea de razonamiento, como se muestra en la figura siguiente, podemos ver que:

Área del triángulo ABC = (1/2)ah,

Área del rectángulo PQRS = t(1−t)ah,

Aquí 0 <= t <= 1. El valor máximo alcanzado por t(1−t) para 0 <= t <= 1 es de 1/4 ,

alcanzado cuando t = 1/2 .

Por lo tanto el máximo posible de la zona de PQRS es (1/4)ah, que es la mitad del área del triángulo.