He formulado esta pregunta aquí ¿Qué puedo decir de la multiplicación de un mapa? Aquí está la pregunta y su respuesta:
La cuestión:
Si sé lo siguiente:
Si tengo el siguiente homomorfismo $f: \mathbb Z_{p^a} \rightarrow \Bbb Z_{p^b}$ definido por la multiplicación por $n/d$ donde $n = p^b$ y $d = \gcd(p^a, p^b).$
Y sé lo siguiente:
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si $a\geq b$ entonces $f$ está dentro.
-
si $a \leq b$ entonces $f$ es 1-1.
¿Cómo puedo utilizar este dato para concluir algo sobre esta función: multiplicación por $rn/d$ para $r= p^s x$ y $0 \leq r < d$ ? ¿cuándo es este mapa 1-1 y cuándo es onto?
¿Podría alguien ayudarme en eso, por favor?
Su respuesta:
Ocupémonos de la generalización natural del problema que usted plantea. Consideremos $m, n \in \mathbb{N}^{\times}$ junto con la notación $\mathbb{Z}_r\colon=\mathbb{Z}/r\mathbb{Z}$ para cualquier $r \in \mathbb{Z}$ . Sea $d\colon=(m; n)$ denota el máximo común divisor de los dos números y considera también $m'\colon=\frac{m}{d}, n'=\frac{n}{d}$ (las fracciones existen ya que $d \neq 0$ ).
Arreglemos $k \in \mathbb{N}^{\times} \cap n'\mathbb{Z}$ y que $f \in \mathrm{End}_{\mathbf{Gr}}(\mathbb{Z})$ sea el endomorfismo aditivo de grupo dado por $f(r)=kr$ para arbitraria $r \in \mathbb{Z}$ . Es evidente que $f[\mathbb{Z}]=f\left[\langle m \rangle\right]=\left\langle f(m)\right\rangle \leqslant n\mathbb{Z}$ ya que $f(m)=mk \in mn'\mathbb{Z}=m'dn'\mathbb{Z}=m'n\mathbb{Z} \leqslant n\mathbb{Z}$ lo que significa que $f$ induce un cociente morfismo $g \in \mathrm{Hom}_{\mathbf{Gr}}\left(\mathbb{Z}_m, \mathbb{Z}_n\right)$ descrito por $g\left(\overline{r}\right)=\widehat{f(r)}=\widehat{kr}$ donde $\overline{\bullet}$ denota las clases módulo $m$ respectivamente $\widehat{\bullet}$ se refiere a las clases modulo $n$ .
En virtud de las propiedades generales de los morfismos cocientes, tenemos $\mathrm{Ker}g=f^{-1}\left[n\mathbb{Z}\right]/m\mathbb{Z}$ . Es fácil ver que $f^{-1}\left[n\mathbb{Z}\right]=\frac{n}{(k; n)}\mathbb{Z}$ de donde $\mathrm{Ker}g=\frac{n}{(k; n)}\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \approx \mathbb{Z}_{\frac{m(k;n)}{n}} \ (\mathbf{Gr})$ . En particular, $g$ es inyectiva si y sólo si $\frac{m(k; n)}{n}=1$ relación expresada de forma equivalente como $m(k; n)=n \Leftrightarrow m \mid n \wedge (k; n)=\frac{n}{m}$ .
En cuanto a la imagen, tenemos que $\mathrm{Im}g=\left(\mathrm{Im}f+n\mathbb{Z}\right)/n\mathbb{Z}=\left(k\mathbb{Z}+n\mathbb{Z}\right)/n\mathbb{Z}=(k; n)\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\frac{n}{(k; n)}\mathbb{Z} \ (\mathbf{Gr})$ . Por lo tanto, $g$ es suryectiva si y sólo si $(k; n)=1$ lo que implica $n'=1$ y así $n \mid m$ . La subjetividad de $g$ se alcanza si y sólo si $n \mid m$ y $(k; n)=1$ .
Esta es mi pregunta:
Tengo un caso que contradice las condiciones requeridas para $g$ ser surjective Si tomamos $m=2^4, n = 2^3 $ y $r = 2$ ese caso no será suryectiva. ¿Estoy en lo cierto en ese ejemplo o no? ¿Podría alguien ayudarme en eso?
