¿Cómo obtengo la integral de $\frac{1}{(x^2 - x -2)}$

Question

Estoy trabajando con este problema $$ \int \frac{1}{x^2 - x - 2}$$

Estoy pensando en romper la parte inferior para que se vea así $$\int \frac{1}{(x-2)(x+1)} $$

Entonces lo hago $$x^2 - x -2 = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1} $$

Se multiplican ambos lados por el denominador común y se obtiene $$ A(x+1) + B(x-2) = x^2 - x - 2 $$

Lo que equivale a $$Ax + A + Bx - 2B = x^2 - x - 2$$

O $$ (A+B)x + (A-2B) = x^2 - x - 2$$

Después de eso traté de obtener valores para mi A y B, pero no parece correcto ya que no tengo nada para el $x^2$

¿He metido la pata en algún sitio?

Answer 1

Tu error está en el paso donde escribes:

$$x^2 - x -2 = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1}$$

Lo que tienes, en realidad, es $$\dfrac 1{x^2 - x - 2} = \dfrac A{x-2} + \frac B{x+1}$$

Así que $A(x+1) + B(x - 2) = 1$ .

Si $x = -1$ , $$A(-1 + 1) + B(-1 - 2) = 1 \iff -3B = 1 \iff B = -\frac 13$$

Si $x = 2$ , $$A(2 + 1) + B(2 - 2) = 1 \iff 3A = 1 \iff A = \frac 13$$

$$\int \dfrac {dx}{x^2 - x - 2} = \int \left(\dfrac A{x-2} + \frac B{x+1}\right)\,dx = \int \left(\frac 1{3(x-2)} - \frac{1}{3(x + 1)}\right)\,dx$$

¿Puedes seguir desde aquí?

Answer 2

Tienes que hacer $$\frac 1{x^2-x-2}=\frac A{x-2}+\frac B{x+1}$$

Despejar fracciones (multiplicar ambos lados por $x^2-x-2$ ) para obtener $$1=A(x+1)+B(x-2)$$

Deberías poder hacerlo desde ahí. Manera fácil - set $x=2$ , $x=-1$

Answer 3

En tu fracción parcial,

$\dfrac{1}{(x-2)(x+1)} = \dfrac{A}{x-2} + \dfrac{B}{x+1}$

Así que..,

$\dfrac{1}{(x-2)(x+1)} = \dfrac{A(x+1) + B(x-2)}{(x-2)(x+1)}$

y por lo tanto,

$1 = (A+B)x + (A-2B)$

Creo que puedes seguir desde aquí.