Reordenación tras resolver una ecuación diferencial no lineal de primer orden

Question

Mi amigo me planteó un interesante problema de física que se reduce a la ecuación diferencial $$\frac{dy}{dx} = \frac{a}{y} + b$$ donde $a$ y $b$ son constantes conocidas y distintas de cero. Después de leer sobre cómo resolver ecuaciones diferenciales de este tipo, lo he reducido a $$\frac{by - a\space \ln (a + by)}{b^2} = x + C$$ y aquí es donde llegué a un callejón sin salida. Wolfram Alpha me dice que $$y = \dfrac{a\left(-W\left(-\dfrac{e^{\dfrac{(x+C)b^2}{a}-1}}{a}\right)\right)-a}{b}$$ donde $W(z)$ es el Función W de Lambert pero esto es increíblemente complejo y no tengo ni idea de cómo se llegó a ese punto.

¿Cómo se llegaría a esta solución? ¿Existe alguna forma más sencilla de expresarlo?

Answer 1

Empecemos por

$$\frac{by - a \ln (a + by)}{b^2} = x + C$$

y hacer algunos reordenamientos:

$$\frac{b}{a}y - \ln (a + by) = \frac{b^2}{a}(x + C)$$

y complicar un poco las cosas:

$$\begin{align*}1+\frac{b}{a}y - \ln\left(1 + \frac{b}{a}y\right) &= 1 + \frac{b^2}{a}(x + C)+\ln\,a\\\frac{\exp\left(1+\frac{b}{a}y\right)}{1+\frac{b}{a}y}&=\exp\left(1 + \frac{b^2}{a}(x + C)+\ln\,a\right)\\\left(-1-\frac{b}{a}y\right)\exp\left(-1-\frac{b}{a}y\right)&=-\frac1{a}\exp\left(- \frac{b^2}{a}(x + C)-1\right)\end{align*}$$

que es la señal para que Lambert entre en la refriega:

$$-1-\frac{b}{a}y=W\left(-\frac1{a}\exp\left(- \frac{b^2}{a}(x + C)-1\right)\right)$$

y finalmente

$$y=-\frac{a}{b}\left(1+W\left(-\frac1{a}\exp\left(- \frac{b^2}{a}(x + C)-1\right)\right)\right)$$

Qué rama de la función Lambert será necesaria dependerá de su aplicación.