Sea dado un sistema cuántico que tiene dos subsistemas $A$ y $B$ de modo que el espacio de Hilbert se descompone $\mathscr{H}\simeq \mathscr{H}_A\otimes \mathscr{H}_B$ .
Si el estado del sistema es $\rho$ se define la correlación clásica con respecto a las medidas en $B$ como
$$J_{\overleftarrow{AB}}(\rho)=\max_{\{1\otimes \Pi_i\}}\{S(\rho_A)-\sum_i p_i S(\rho_A^i)\}$$
donde el máximo se toma sobre todas las medidasst en $B$ con probabilidades $p_i$ y con estados posteriores a la medición $\rho^i$ y donde $\rho_A = \operatorname{Tr}_B(\rho)/\operatorname{Tr}(\rho)$ y $\rho_A^i=\operatorname{Tr}_B(\rho^i)/\operatorname{Tr}(\rho^i)$ .
La idea es sencilla:
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Antes de la medición, el estado de $A$ est $\rho_A$ y la incertidumbre sobre su especificación es $S(\rho_A)$ .
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Si tras una medición específica $\{1\otimes \Pi_i\}$ se lleva a cabo en $B$ se ha obtenido resultado $i$ el estado posterior a la medición de $A$ est $\rho_A^i$ y la incertidumbre sobre su especificación es $S(\rho_A^i)$ . Por lo tanto, la incertidumbre sobre el estado de $A$ se ha reducido en $$S(\rho_A)-S(\rho_A^i).$$ Como tal, la información media sobre el estado de $A$ obtenida en el proceso de medición es $$\sum_i p_i (S(\rho_A)-S(\rho_A^i))=\sum p_i S(\rho_A)-\sum p_i S(\rho_A^i)=S(\rho_A)-\sum p_i S(\rho_A^i).$$
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Por último, podemos decir que la máxima información que podemos obtener sobre $A$ midiendo $B$ es el máximo de dicha cantidad sobre todas las mediciones en $B$ que es $J_{\overleftarrow{AB}}(\rho)$ .
Está bien, pero ¿por qué se llama "correlación clásica" y no correlación total?
Para mí, correlación significa lo siguiente
Si siempre que observamos $B$ adquirimos conocimientos de $A$ entonces están correlacionados.
La única forma de observar $B$ es medir algo.
Entonces, ¿por qué esta cantidad es correlación clásica y no correlación completa? ¿En qué sentido difiere de esto la correlación cuántica y cómo concuerdan entonces las correlaciones cuánticas con el significado habitual de correlación?
