¿Cómo hallar el valor esperado de una distribución no continua?

Question

Planteamiento del problema :

El autobús Pacific Transit nº 1 que cojo para ir al campus llega a veces temprano y normalmente tarde. I modelo la hora a la que el autobús sale de mi parada utilizando una variable aleatoria $X$ que representa la diferencia (en minutos) entre la hora de salida real del autobús menos su hora programada. Un resultado positivo $X$ significa que el autobús llega tarde, un $X$ significa que el autobús llega pronto, y $X = 0$ significa que el autobús está puntual. $X$ puede o no ser un número entero.

La FCD de $X$ est

$$ F(y) =\begin{cases} 0,& y<-4\\ \frac15+\frac1{20}y,& -4\leqslant y<0\\ \frac25+\frac1{20}y,& 0\leqslant y<12\\ 1,&y\geqslant 12. \end{cases} $$

A partir de la FCD podemos ver que no es continua debido al salto en $x = 0$ de $0.2$ a $0.4$ .

¿Cómo puedo encontrar el valor esperado de $X$ ?

$E(X)\text{ ?}$

Answer 1

$$\begin{align} \mathbb E[X] &= \mathbb E(X\cdot\mathbf 1_{X<0})+\mathbb E(X\cdot\mathbf 1_{X=0})+\mathbb E(X\cdot\mathbf 1_{X>0}) \\[1ex]&= \int_{-\infty}^0 -F(x)\,\mathsf dx + 0 +\int_0^\infty (1-F(x)\,\mathsf dx\\[1ex] &= \int_{-4}^0-\left(\frac15+\frac1{20}x\right)\,\mathsf dx + \int_0^{12} \left(1-\left(\frac25+\frac1{20}x\right)\right)\,\mathsf dx\\[1ex] &= \int_{-4}^0\left(-\frac15 -\frac1{20}x\right)\,\mathsf dx + \int_0^{12} \left(\frac35 - \frac1{20}x\right) \\[1ex] &= \left[-\frac15x-\frac1{40}x^2 \right]_{-4}^0 + \left[\frac35x - \frac1{40}x^2 \right]_0^{12}\\[1ex] &= -\frac45 + \frac25 + \frac{36}5 - \frac{18}5\\[1ex] &= \frac{16}5. \end{align}$$