Hallar la distribución condicional en el caso multinormal

Question

[Supongamos que $X_1$ (ventas), $X_2$ (precio), $X_3$ (publicidad), y $X_4$ (dependientes) se distribuyen normalmente con:

$$ \mu = \begin{pmatrix} 172.7 \\ 104.6 \\ 104.0 \\ 93.8 \end{pmatrix} \text{ and } \Sigma = \begin{pmatrix} 1037.21 & & & \\ -80.02 & 219.84 & & \\ 1430.70 & 92.10 & 2624.00 & \\ 271.44 & -91.58 & 210.30 & 177.36 \end{pmatrix} $$

(En realidad, son la media muestral y la matriz de covarianza muestral, pero en este caso fingimos que son los verdaderos valores de los parámetros).

La distribución condicional de $X_1$ dado $(X_2,X_3,X_4)$ es por tanto una normal univariante con media

$$ \mu_1 + \sigma_{12} \Sigma_{22}^{-1} \begin{pmatrix} X_2 - \mu_2 \\ X_3 - \mu_3 \\ X_4 - \mu_4 \end{pmatrix} = 65.670 - 0.216 X_2 + 0.485 X_3 + 0.844 X_4 $$

y varianza

$$ \sigma_{11.2} = \sigma_{11} - \sigma_{12} \Sigma_{22}^{-1} \sigma_{21} = 96.671 $$

Estoy tratando de entender este ejemplo y no puedo averiguar cómo particionar la matriz de covarianza. En este caso, ¿qué es $\Sigma_{22}^{-1}$ ? Gracias por su ayuda.

Answer 1

Hay que completar la parte superior derecha de la matriz de covarianzas reflejando la parte inferior izquierda para obtener

$$ \Sigma = \left( \begin{array}{cccc} 1037.21 & -80.02 & 1430.7 & 271.44 \\ -80.02 & 219.84 & 92.1 & -91.58 \\ 1430.7 & 92.1 & 2624 & 210.3 \\ 271.44 & -91.58 & 210.3 & 177.36\end{array} \right)$$

$\sigma_{12}$ entonces aparentemente significa que el $1$ ª fila de la matriz, excluida la $1$ st célula, por lo que $$ \sigma_{12} = \left( \begin{array}{ccc} -80.02 & 1430.7 & 271.44 \end{array} \right)$$ y $\sigma_{21}$ es aparentemente la transposición de esto (el $1$ columna de la matriz excluyendo la $1$ celda st)

mientras que $\Sigma_{22}$ aparentemente significa la matriz de covarianza sin la $1$ fila o columna so

$$ \Sigma_{22} = \left( \begin{array}{ccc} 219.84 & 92.1 & -91.58 \\ 92.1 & 2624 & 210.3 \\ -91.58 & 210.3 & 177.36\end{array} \right)$$

con $\Sigma_{22}^{-1}$ siendo su inversa

$$ \Sigma_{22}^{-1} = \left( \begin{array}{ccc} 0.006427076 & -0.000543173 & 0.00396268 \\ -0.000543173 & 0.000467021 & -0.000834226 \\ 0.00396268 & -0.000834226 & 0.008673545 \end{array} \right)$$

y puede comprobar que

$$\sigma_{12} \Sigma_{22}^{-1} \left( \begin{array}{c} X_2 \\ X_3 \\ X_4 \end{array} \right) = -0.215782095 X_2 + 0.485189757 X_3 +0.843726149 X_4$$ que da los coeficientes de tu ejemplo. Voy a dejar la aritmética de la intercepción y la varianza a usted, pero es similar multiplicación de matrices.