Que $0<x<\pi$. $n$ ser un número natural.
Cómo probar
$$\sin x+\dfrac{\sin 2x}{2}+\dfrac{\sin 3x}{3}+\ldots+ \dfrac{\sin nx}{n}>0$$
Esta pregunta ya tiene respuestas:
- La desigualdad de $\sum_{1\le k\le n}\frac{\sin kx}{k}\ge 0$ (2 respuestas )
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
user8268
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Esto es un indicio posible solución; tal vez alguien puede acabar a lo largo de estas líneas (no se ajusta como un comentario). Tenemos $$\sin x+\dfrac{\sin 2x}{2}+\dfrac{\sin 3x}{3}+\ldots+ \dfrac{\sin nx}{n}=\sum_{k=1}^n\int_0^x\cos kt\,dt,$ $ $$2\sum_{k=1}^n\cos kt=\sin((n+1/2)t)/\sin(t/2)-1$$ (by taking the real part of $\sum_{k=1}^n e ^ {ikt} $) por lo que deseamos Mostrar $$\int_0^x(\frac{\sin(n+1/2)t}{\sin(t/2)}-1)dt>0.$ $ es fácil sin que $-1$ (como $1/\sin (t/2)$ disminuye); para hacerlo realmente (con $-1$) una estimación mejor es necesario.
