Cogenerador de categorías de espacios topológicos que satisfacen algún axioma de separación

Question

Esta pregunta comienza con una especie de comentario misterioso en la parte inferior de esta página de Wikipedia sobre cogeneradores inyectivos. Allí se dice, sin citar ni probar, que como resultado de la Teorema de extensión de Tietze el intervalo $I=[0,1]$ es un cogenerador inyectivo para categorías de espacios topológicos que satisfacen axiomas de separación (por ejemplo, Hausdorff, Tychonoff, Kolmogorov u otra de las diversas $T_{i}$ condiciones).

Así que hay algunas preguntas aquí:

(0) Esta pregunta es básicamente terminológica. La página de Wikipedia dice que un cogenerador inyectivo es simplemente un objeto que admite un mapa distinto de cero (aunque en una categoría general no estoy seguro de lo que sería un mapa cero de todos modos) a partir de cada objeto distinto de cero. Pero el Página de nlab indica que más bien deberíamos definir un cogenerador como un objeto cuyo functor representado es fiel, así que esa es la definición con la que estoy trabajando por ahora. ¿Son equivalentes en el caso de que "mapa cero" tenga un significado?

(1) ¿Es cierto que el intervalo es un cogenerador inyectivo para cualquiera de las categorías de espacios sujetos a axiomas de separación? En caso afirmativo, ¿puede dar una idea de cómo sería la prueba? Parece probable que funcione al menos para los espacios de Tychonoff.

(2) Si no es el intervalo, ¿admiten las demás categorías de espacios sujetos a axiomas de separación cualquier (conjunto de) cogeneradores?

(3) ¿Tiene la categoría completa de espacios topológicos un cogenerador? Estaba pensando que podría ser el espacio de dos puntos $X=\{a,b\}$ con topología dada por $\{\{a,b\},\{b\},\emptyset\}$ pero puede que me equivoque.

Answer 1

Quizá debería haber buscado un poco mejor en Google antes de publicar esta pregunta, pero parece que se responde, hasta cierto punto, en un artículo de 1980 de Giuli, citado más abajo. En concreto, cualquier subcategoría epirreflexiva, es decir, cerrada bajo productos y subespacios (por tanto, cuya inclusión preserva los límites), tiene un sistema de cogeneradores que no forman un conjunto. Giuli se refiere a esta propiedad como ser "débilmente inicial". Esto, si estoy leyendo bien, parece un sistema de espacios $X(\Lambda)$ para cada cardinal $\Lambda$ . Ahora bien, en algunos casos agradables, por ejemplo. $T_0$ , $T_4$ , Tychonoff, y Hausdorff compacto, hay de hecho un solo cogenerador. Pero este no es el caso (según ese documento, aunque no está demostrado) para $T_1$ , $T_2$ , $T_3$ o espacios de Urysohn. De hecho, Giuli dice que ni siquiera hay sistemas de cogeneradores conocido para $T_2$ , $T_3$ y Urysohn (o $T_{2\frac{1}{2}})$ .

Sin embargo, Giuli confirma que el intervalo $[0,1]$ es un cogenerador para los espacios de Tychonoff y que el espacio de Sierpinski es un cogenerador para $T_0$ -espacios (aparentemente). Toda esta discusión comienza en torno al teorema 1.2 de ese artículo.

Giuli, Eraldo , Bases de epi-reflexiones topológicas Topology Appl. 11, 265-273 (1980). ZBL0441.18012 .

Answer 2

La respuesta a su pregunta (0) es "no". La página de Wikipedia se encuentra en el contexto de una categoría con objeto cero en cuyo caso a morfismo cero es uno que factoriza a través del objeto cero. Consideremos una categoría con cuatro objetos $A,B,C,0$ con $0$ el objeto cero, y cuatro morfismos de no identidad no nulos $f,g:A\rightrightarrows B$ , $h:B\to C$ y $k:A\to C$ donde $h\circ f = h\circ g = k$ . Entonces $C$ es un cogenerador en el sentido de Wikipedia, pero $\hom(-,C)$ no es fiel.

La página de Wikipedia parece creer que las dos definiciones son equivalente al menos en una categoría abeliana, ya que las secciones siguientes utilizan en su lugar la propiedad (equivalente a la definición habitual de "functor fielmente representado") de que todo objeto inyecta en un producto de copias del cogenerador. Me sorprendería que esto fuera cierto; sólo esperaría que la definición de (co)generadores detectara la trivialidad de objetos en lugar de morfismos para trabajar en contextos como una categoría triangulada, donde se puede detectar si un morfismo es un isomorfismo por si su cono es cero. Lo máximo que puedo demostrar a partir de la definición de Wikipedia en general es que $\hom(-,C)$ refleja los epimorfismos.