¿Por qué los cuasicristales tienen transformadas de Fourier bien definidas?

Question

Hace poco leer sobre cuasicristales y me sorprendió mucho saber que, aunque no tienen una estructura periódica y sólo presentan un orden de largo alcance en un sentido muy diferente al habitual, pueden detectarse mediante técnicas cristalográficas que utilizan patrones de difracción de Bragg.

Más concretamente, los cuasicristales son como Tilings de Penrose en que

Es autosimilar, por lo que los mismos patrones se producen a escalas cada vez mayores. Así, el mosaico puede obtenerse mediante "inflación" (o "deflación") y cualquier parche finito del mosaico aparece infinitas veces.

El texto enfatizado también significa que si tengo un trozo finito de cuasicristal al que quiero añadir átomos para hacer el patrón completo, entonces habrá un número infinito de formas diferentes de hacerlo. Por lo tanto, el proceso de añadir átomos a un fragmento finito no es determinista: está limitado por ciertas reglas, pero siempre hay alguna opción.

Para ser más preciso sobre lo que me molesta, creo que esto "se salta" un paso intermedio. Puedo imaginarme un mosaico que no sea periódico, pero que sea determinista en el sentido de que, dada una "semilla" inicial, todo el patrón está determinado. En un patrón así no hay invariancia de traslación, pero sí un sentido muy rígido del orden a largo plazo.

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Edita:

Hace poco me enseñaron una construcción que entra en este caso. Consideremos el conjunto unidimensional discreto de puntos $\mathbb Z\cup r\mathbb Z=\{\ldots,-1,0,1,\ldots,\ldots,-r,0,r,\ldots\}$ donde $r$ es irracional. Este conjunto no es periódico (aunque cualquier parche finito tiene otros infinitos parches que son arbitrariamente similares a él), pero tiene una transformada de Fourier bien definida: es simplemente la suma de las transformadas de $\mathbb Z$ y $r\mathbb Z$ que son picos únicos. Sin embargo, dada una mancha inicial de longitud mayor que $r$ y $1$ el resto del patrón está completamente determinado, y el orden de largo alcance es "rígido" sin que el patrón sea periódico.

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En el caso de los cuasicristales, en cambio, los órdenes locales de dos manchas distantes están correlacionados, pero sólo vagamente. En este caso, me cuesta visualizar cómo es posible obtener patrones de difracción a partir de ellos, y entender si tienen transformadas de Fourier bien definidas.

Para situar esta cuestión sobre una base más precisa, permítanme que les pregunte lo siguiente: dado un fragmento inicial de cuasicristal y una regla (no determinista) para añadirle átomos, ¿está bien definida la transformada de Fourier del patrón completo e infinito? En caso afirmativo, ¿cuál es la intuición que permite que esto ocurra?

Si en realidad esto es mucho más complicado de lo que creo, también estaría de acuerdo con una referencia a un recurso de nivel de entrada sobre el tema, pero realmente me gustaría una buena explicación de esto.

Answer 1

[No soy la persona más indicada para responder a esta pregunta, pero ya que nadie más está respondiendo aquí está mi mejor tiro]

dado un fragmento inicial de cuasicristal y una regla (no determinista) para añadirle átomos, ¿está bien definida la transformada de Fourier del patrón completo e infinito?

En resumen, depende de la norma. [También puede ser una tautología ya que se requiere que los cuasicristales tengan espectros discretos bien definidos por definición, pero asumo que eso no es importante aquí]

Más en detalle, la transformada de Fourier o espectro de un patrón es sólo una función del patrón, independientemente de cómo se haya producido. La cuestión es cómo limitan las reglas las posibles configuraciones finales y, por tanto, sus transformadas de Fourier. Un proceso no determinista puede producir un patrón perfectamente regular con un espectro simple. Si un proceso es suficientemente no determinista, puede dar lugar a patrones perfectamente regulares en algunos tramos y salvajemente complejos en otros, en cuyo caso las reglas del proceso no nos dirían realmente nada sobre el espectro final. En otro extremo, el proceso puede ser tal que el patrón final sea el mismo independientemente de las elecciones no deterministas que se hagan a lo largo del proceso, que sólo afectan al orden en el que se produce el patrón, en cuyo caso el espectro queda fijado por las reglas del proceso. Entre medias, tenemos sistemas en los que el espacio de patrones finales es amplio pero presenta regularidades que se reflejan en los espectros. Los procesos reales tienen probabilidades asociadas a sus elecciones no deterministas, lo que conduce a una función de densidad de probabilidad en los patrones finales y en los espectros. Las reglas probabilísticas dan lugar a regularidades estadísticas en los patrones producidos y sus espectros. Los ejemplos clásicos son el ruido blanco, rosa y marrón. Se trata de procesos aleatorios cuyo patrón final en el dominio temporal es impredecible, pero sus espectros están bien definidos y presentan un alto grado de regularidad, ya que sus relaciones amplitud-frecuencia siguen leyes de potencia específicas. No sé cómo los procesos que producen cuasicristales producen los espectros particulares que producen, excepto que deben estar sesgados a producir paternas con simetrías aproximadas que no pueden ser realizadas exactamente por cristales regulares, el comentario y la referencia de @user23660 parecen punteros prometedores

Editar

Algunos ejemplos para ilustrar las ideas descritas anteriormente, como se pide en los comentarios:

Para un ejemplo muy simple de un sistema determinista eventual/asintomático, empecemos con una red cuadrada que tiene un "átomo" en el origen. La regla es colocar un átomo en un lugar vacío junto a un átomo existente con la misma probabilidad. A la larga, el resultado será una mancha simétrica y convexa alrededor de los orígenes, con algunas variaciones en la forma exacta de la frontera entre los recorridos, pero para recorridos muy largos el resultado será esencialmente el mismo.

Para tipos de patrones estocásticos en los que todos los indidviduos son distintos pero tienen regularidades a gran escala que producen espectros reconocibles, considere los patrones naturales dunas de arena, corteza de árbol, manchas de girraffe, huellas dactilares y otros tipos de texturas. Los cuasicristales y los tilings de Penrose son vagamente similares, pero están formados por componentes perfectamente regulares.

Para un sistema que puede producir cualquier tipo de patrón, simple o complejo, se puede tomar la regla de poner un átomo en cualquier lugar. A continuación, puedes colocar los átomos en una disposición regular o caótica. Esto es una trampa, porque si se hace la regla probabilística, la probabilidad de obtener un patrón regular es prácticamente 0. Es casi seguro que se obtendría un patrón aleatorio, pero creo que todavía tendría un espectro bien definido de la misma manera que el ruido blanco.

Por desgracia, no tengo un buen ejemplo sencillo de un sistema probabilístico que pueda producir patrones complejos y regulares con una probabilidad significativa. La dinámica de fluidos es un sistema real que es algo así: se obtiene un flujo laminar con un número de Reynolds bajo, pero se vuelve cada vez más turbulento a medida que aumenta el número de Reynolds. También puede ayudar pensar en la Vida de Conway. Es determinista, por supuesto, pero dependiendo de la configuración inicial puede producir casi cualquier tipo de comportamiento, por lo que las reglas no te dicen realmente qué tipo de patrón, y por lo tanto espectro, obtendrás a largo plazo y, puesto que la Vida es en realidad Turing completa, no puedes predecir los patrones eventuales incluso si tienes la configuración inicial, excepto esencialmente ejecutando las reglas. Esto se debe a la indecidibilidad del problema de la alcanzabilidad de las máquinas de Turing.

Puede ser útil echar un vistazo a los autómatas celulares (estocásticos, asíncronos). Stephen Wolfram Un nuevo tipo de ciencia tiene muchos ejemplos de sistemas discretos en el límite del caos de orden. Aquí también hay un hable por Wolfram.