Es $\mathbb{Q}$ artiniano como $\mathbb{Z}_{(2)}$ -¿Módulo?

Question

Sea $\mathbb{Z}_{(2)}= \{ \frac ab \in \mathbb{Q} : 2\not \mid b \}$ sea la localización de $\mathbb{Z}$ en el ideal primo $(2)$ .

Podemos considerar $\mathbb{Q}$ como $\mathbb{Z}_{(2)}$ -mediante la multiplicación habitual. Equivalentemente, se trata de la extensión de escalares de $\mathbb{Z}$ a $\mathbb{Z}_{(2)}$ ya que $S^{-1}\mathbb{Z}_\mathbb{Z} \mathbb{Q} \cong S^{-1}\mathbb{Q} =\mathbb{Q}$ es válido para todos los submonoides $S$ de $\mathbb{Z}$ .

Es $\mathbb{Q}$ artiniano como $\mathbb{Z}_{(2)}$ -¿Módulo?

Sabemos que $\mathbb{Q}$ no es artiniano como $\mathbb{Z}$ -por la misma cadena descendente que aquí . Sin embargo, esta cadena no funcionará aquí porque el $\mathbb{Z}$ -módulo $M_i=\{ \frac ab \in \mathbb{Q} : \forall j =1...,i \;\; p_j \not \mid b \}$ ya no es un módulo sobre el anillo $\mathbb{Z}_{(2)}$ .

El principal obstáculo es que no sé cómo clasificar los submódulos de $\mathbb{Q}$ como $\mathbb{Z}_{(2)}$ -módulo. ¿Existe algún resultado sobre los submódulos de una extensión escalar?

Answer 1

Tienes algo mal ahí. $\mathbb{Q}$ no es artiniano como $\mathbb{Z}$ -módulo porque $\mathbb{Z}\supseteq 2\mathbb{Z}\supseteq 4\mathbb{Z}\supseteq 8\mathbb{Z} \supseteq \cdots$ es una secuencia estrictamente descendente de submódulos.

Y del mismo modo $\mathbb{Z}_{(2)}\supseteq 2\mathbb{Z}_{(2)}\supseteq 4\mathbb{Z}_{(2)}\supseteq 8\mathbb{Z}_{(2)} \supseteq \cdots$ es una sucesión estrictamente descendente de $\mathbb{Z}_{(2)}$ -submódulos.

En cuanto a una clasificación: $\mathbb{Z}_{(p)}$ es lo que se denomina anillo de valoración discreta y si $R$ es un DVR con ideal máximo $\mathfrak{p}=(\pi)$ entonces el $R$ -submódulos del campo de fracciones $Q$ son exactamente los submódulos de la forma $\pi^k R$ para algunos $k\in\mathbb{Z}\cup\{\pm\infty\}$ (donde $\pi^{\infty}:=0$ y $\pi^{-\infty}R:=Q$ ) y son distintos por pares.

Answer 2

Para $n\in\mathbb{N}$ , dejemos que $M_n\subseteq\mathbb{Q}$ sea el submódulo generado por $2^n$ . Entonces el $M_n$ forman una cadena descendente infinita de submódulos. (Se trata esencialmente del mismo ejemplo que en la pregunta enlazada, sólo que en lugar de utilizar distintos primos, se utilizan potencias cada vez mayores del único primo que se tiene).