cuales son los polos de (tanz)/z

Question

¿Cuáles son los polos de tanz/z y cuál es la mejor manera de encontrarlos? Sé cuál es la respuesta y la forma en que la encontré fue reescribiendo tanz/z como sinz/cosz y obtuve 0 y (2n+1)pi/2. Sin embargo, tengo curiosidad por otro método en el que reescribimos tanz como una serie de potencias centrada en 0, obtenemos x + (x^3)/3+(x^5)/15... por expansión de Taylor y si dividimos por z, el primer término siempre será 1. Por lo tanto, eso significa que no tenemos que dividir tanz por z. Entonces eso significa que no tenemos ningún polo ya que nada de lo que introduzcamos nos da ningún 0 o discontinuidad, pero eso es imposible ya que sólo son formas distintas de expresar lo mismo, entonces ¿qué ha fallado aquí?

Answer 1

La serie Taylor para $\frac{\tan z}z$ sólo es correcta dentro de una cierta vecindad del punto sobre el que se expande. No habrá, por definición, ningún polo dentro de esa vecindad. Pero puede haber polos fuera de ella.