Dejamos que $X$ sea el siguiente subconjunto de $\mathbb{R}^3$ : $$ X=\left \{x \in \mathbb{R}^3 \vert 1 \leq \vert x \rvert \leq 2 \right \} \subseteq \mathbb{R}^3.$$ Ahora observamos que $X$ tiene dos componentes límite, $S_1$ y $S_2$ . Aquí $ S_1=\left \{x \in \mathbb{R}^3 \vert \vert x \rvert =1 \right \} \subseteq \mathbb{R}^3 $ y $ S_2=\left \{x \in \mathbb{R}^3 \vert \vert x \rvert =2 \right \} \subseteq \mathbb{R}^3 $ . Además, podemos generar una relación de equivalencia $\sim$ en $X$ estableciendo $x \sim y$ si $x \in S_1,y \in S_2$ y $y=2x$ . Consideremos ahora el espacio topológico cociente $X/ \sim$ para cualquier punto $x_0 \in X/ \sim$ queremos calcular el grupo fundamental $\pi_1(X/\sim,x_0)$ ? No tengo casi ni idea de esta pregunta. Supongo que tal vez el grupo fundamental buscado es el mismo que el grupo fundamental del toroide, por lo que la respuesta es $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ . Pero no sé cómo demostrarlo.
Respuestas
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Piensa en $X$ como un conjunto de esferas centradas en el origen con radios comprendidos entre $1$ a $2$ . Desde el punto de vista topológico, es homeomorfo a $[0,1]\times S^2$ . El cociente tiene el efecto de identificar $0\times S^2$ con $1\times S^2$ Así que $X$ es homeomorfo a $S^1\times S^2$ .
Entonces, $\pi_1(X)\cong \pi_1(S^1\times S^2)\cong \pi_1(S^1)\times \pi_1(S^2)\cong\mathbb{Z}\times 1\cong \mathbb{Z}$ .
Podemos calcular el grupo fundamental utilizando la cobertura universal.
En lugar de buscar en su espacio cociente, empezamos con puntuaciones $\Bbb R^3$ es decir, el espacio $E=\Bbb R^3\setminus\{(0,0,0)\}$ . Defina una relación de equivalencia en $E$ por $x\sim y$ si $x=2^ny$ para algún número entero $n\in\Bbb Z$ . Espero que puedas ver que el espacio cociente $E/\sim$ es homeomorfo a su espacio cociente. También tenemos que la proyección canónica $\pi:E\to E/\sim$ es un mapa de cobertura.
Los automorfismos de cobertura/transformaciones de cubierta, es decir, los homeomorfismos $\varphi:E\to E$ tener la propiedad $\pi=\pi\circ\varphi$ son precisamente los de la forma $\varphi_n(x)=2^nx$ para un número entero $n$ . Por tanto, el grupo de automorfismos de recubrimiento (el grupo de todos los automorfismos de recubrimiento cuya operación binaria es la composición de funciones) es isomorfo a $\Bbb Z$ . Desde $E$ es de conexión simple, el grupo fundamental de $E/\sim$ es isomorfo al grupo de automorfismos de recubrimiento y por tanto $\Bbb Z$ .
(Nota: Para ver que los automorfismos de cobertura $\varphi$ debe ser de esa forma, observe primero que $\varphi_n$ descrito anteriormente ( $\varphi_n(x)=2^nx$ ) son automorfismos de recubrimiento. Entonces se cumple la condición $\pi=\pi\circ\varphi$ sobre los automorfismos de recubrimiento da $\pi\circ\varphi(x)=\pi(x)$ es decir, tenemos $x\sim\varphi(x)$ y, por tanto $\varphi(x)=2^nx$ para algún número entero $n$ . Este número entero $n$ puede depender del punto $x$ pero ocurre que no es así debido al teorema de que dos automorfismos de recubrimiento siendo iguales en algún punto deben ser iguales en todas partes, de modo que comparamos los dos mapas $\varphi$ , $\varphi_n$ en $x$ para ver $\varphi=\varphi_n$ en todas partes, es decir $\varphi_n$ son todos los automorfismos de recubrimiento).
Observe que tenemos una copia de $S^2$ dentro de nuestro espacio cociente (que llamaré $Y$ ) con radio $\frac{3}{2}$ . Además, en cada punto de esta esfera, obtenemos una circunferencia viajando perpendicular al punto, por lo que $Y\cong S^2\times S^1$ . De ello se deduce que $$\pi_1(Y)=\mathbb{Z}$$
