Llamado $P$ el conjunto de todos los primos, se sabe que la serie $$\sum_{p\,\equiv\,1\mod4\\p\,\in\,P}\frac1p=\sum_{n\,=\,1}^{\infty}\Big(\sum_{k\,\lt\,n\\n^2+k^2\,\in\,P}\frac1{n^2+k^2}\Big)$$ diverge.
Eligiendo $\,k\,$ para que $\,n^2+k^2\lt(n+1)^2$ la serie parece converger a un límite $\,l\lt1.1$
¿Existe una técnica para demostrar que la serie
$$\sum_{n\,=\,1}^{\infty}\Big(\sum_{k^2\,\lt\,2n\\n^2+k^2\,\in\,P}\frac1{n^2+k^2}\Big)$$ converge?
Muchas gracias.
Respuesta
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La convergencia no depende del término $k^2$ en el denominador, porque $$ \frac1{4n^2} < \frac1{n^2+k^2} < \frac1{n^2}. $$ Si queremos adivinar la respuesta, podemos intentar omitir la condición de primacía. Sólo añade algún factor logarítmico; veamos el exponente de $n$ primero. Si resulta que es importante, puedes hacerlo con más cuidado. Además, en la segunda suma, no importa si el límite de $k^2$ es $2n$ o $n$ . Entonces, probemos $$ \sum_{n=1}^\infty \sum_{\substack{k^2<2n\\n^2+k^2\in P}} \frac1{n^2+k^2} \approx \sum_{n=1}^\infty \sum_{k^2<n} \frac1{n^2} \approx \sum_{n=1}^\infty \sqrt{n}\cdot\frac1{n^2} = \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^{3/2}}, $$ que es convergente.
Hasta este punto todo eran meras heurísticas, escritas en nuestro borrador de papel. A partir de ahora, nuestro objetivo es demostrar la convergencia, mediante límites superiores precisos.
$$ \sum_{n=1}^\infty \sum_{\substack{k^2<2n\\n^2+k^2\in P}} \frac1{n^2+k^2} \le \sum_{n=1}^\infty \sum_{k^2<2n} \frac1{n^2} \le \sum_{n=1}^\infty \sqrt{2n}\cdot\frac1{n^2} = \sqrt{2}\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^{3/2}} < \infty, $$ por lo que la suma es finita.
