¿El chi cuadrado siempre es una prueba unilateral?

Question

Un artículo publicado (pdf) contiene estas 2 oraciones:

Además, la mala información puede deberse a la aplicación de reglas incorrectas o a la falta de conocimiento de la prueba estadística. Por ejemplo, el df total en un ANOVA puede ser tomado como el df de error en el informe de una prueba $F$, o el investigador puede dividir el valor de p reportado de una prueba $\chi^2$ o $F$ por dos, para obtener un valor de p unilateral, mientras que el valor de p de una prueba $\chi^2$ o $F$ ya es unilateral.

¿Por qué podrían haber dicho eso? La prueba de chi-cuadrado es una prueba bilateral. (He preguntado a uno de los autores, pero no he recibido respuesta.)

¿Estoy pasando por alto algo?

Answer 1

La prueba de chi-cuadrado es esencialmente siempre una prueba de una sola cola. Aquí hay una forma simple de pensar en ello: la prueba de chi-cuadrado es básicamente una prueba de 'bondad de ajuste'. A veces se le llama explícitamente así, pero incluso cuando no lo es, a menudo sigue siendo en esencia una bondad de ajuste. Por ejemplo, la prueba de chi-cuadrado de independencia en una tabla de frecuencia de 2 x 2 es (de alguna manera) una prueba de bondad de ajuste de la primera fila (columna) a la distribución especificada por la segunda fila (columna), y viceversa, simultáneamente. Por lo tanto, cuando el valor de chi-cuadrado realizado está muy en la cola derecha de su distribución, indica un ajuste deficiente, y si es lo suficientemente lejos, en relación con un umbral preespecificado, podríamos concluir que es tan deficiente que no creemos que los datos sean de esa distribución de referencia.

Si usáramos la prueba de chi-cuadrado como una prueba de dos colas, también estaríamos preocupados si la estadística fuera demasiado hacia el lado izquierdo de la distribución de chi-cuadrado. Esto significaría que estamos preocupados de que el ajuste pueda ser demasiado bueno. Simplemente no es algo de lo que típicamente nos preocupemos. (Como nota secundaria histórica, esto está relacionado con la controversia sobre si Mendel tergiversó sus datos. La idea era que sus datos eran demasiado buenos para ser verdad. Consulta aquí para más información si tienes curiosidad.)

Answer 2

¿Es la chi-cuadrado siempre una prueba de una cola?

Realmente depende de dos cosas:

1. qué hipótesis se está probando. Si estás probando la varianza de datos normales contra un valor especificado, es muy posible que estés tratando con las colas superiores o inferiores de la chi-cuadrado (de una cola), o ambas colas de la distribución. ¡Tenemos que recordar que las estadísticas del tipo $\frac{(O-E)^2} E$ no son las únicas pruebas de chi-cuadrado en la ciudad!

2. si la gente está hablando de la hipótesis alternativa de una o dos colas (porque algunas personas usan 'de dos colas' para referirse a una alternativa de dos colas, independientemente de lo que suceda con la distribución muestral de la estadística. A veces esto puede ser confuso. Entonces, por ejemplo, si estamos mirando una prueba de proporciones de dos muestras, alguien podría escribir en la hipótesis nula que las dos proporciones son iguales y en la alternativa escribir que $\pi_1 \neq \pi_2$ y luego hablar de ella como 'de dos colas', pero probarla usando una chi-cuadrado en lugar de una prueba z, y solo mirar la cola superior de la distribución de la estadística de prueba (por lo que tiene dos colas en términos de la distribución de la diferencia en las proporciones de la muestra, pero una cola en términos de la distribución de la estadística de chi-cuadrado obtenida a partir de eso, de la misma manera que si haces que tu estadística t sea $|T|$, solo estás mirando una cola en la distribución de $|T|$).

Es decir, tenemos que ser muy cuidadosos sobre lo que queremos cubrir con el uso de 'prueba de chi-cuadrado' y precisos acerca de lo que queremos decir cuando decimos 'de una cola' vs 'de dos colas'.

En algunas circunstancias (dos que mencioné; puede haber más), puede tener perfecto sentido llamarla de dos colas, o puede ser razonable llamarla de dos colas si se acepta cierta flexibilidad en el uso de la terminología.

Puede ser una afirmación razonable decir que solo es de una cola si restringimos la discusión a tipos particulares de pruebas de chi-cuadrado.

Answer 3

La prueba de chi-cuadrado $(n-1)s^2/\sigma^2$ de la hipótesis de que la varianza es $\sigma^2$ puede ser de una o dos colas en exactamente el mismo sentido que la prueba t $(m-\mu)\sqrt{n}/s$ de la hipótesis de que la media es $\mu$ puede ser de una o dos colas.

Answer 4

Consulte el ejercicio 4.14 de Davidson & Mackinnon 'Econometric Theory and Methods' edición 2004 para un ejemplo (excepcional) de cuándo se utiliza el Chi-cuadrado para una prueba de dos colas.

Edición: gran explicación aquí: http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda358.htm

Answer 5

La respuesta de @gung es correcta y es la forma en que se debe interpretar la discusión de $\chi^2$. Sin embargo, puede surgir confusión de otra interpretación:

Sería fácil interpretar un $\chi^2$ como 'de dos lados' en el sentido de que la estadística de prueba típicamente está compuesta por una suma de diferencias al cuadrado de ambos lados de una distribución original.

Esta interpretación sería confundir cómo se generó la estadística de prueba con qué colas de la estadística de prueba se están observando.