¿El chi-cuadrado siempre es una prueba unilateral?

Question

Un artículo publicado (pdf) contiene estas 2 oraciones:

Además, informar incorrectamente puede ser causado por la aplicación de reglas incorrectas o por falta de conocimiento de la prueba estadística. Por ejemplo, los grados de libertad totales en un ANOVA pueden considerarse los grados de libertad del error en la presentación de una prueba $F$, o el investigador puede dividir el valor p reportado de una prueba $\chi^2$ o $F$ entre dos, para obtener un valor p unidireccional, cuando el valor p de una prueba $\chi^2$ o $F$ ya es una prueba unidireccional.

¿Por qué podrían haber dicho eso? La prueba de chi-cuadrado es una prueba bidireccional. (Le pregunté a uno de los autores, pero no he recibido respuesta.)

¿Estoy pasando por alto algo?

Answer 1

La prueba de chi-cuadrado es esencialmente siempre una prueba unilateral. Aquí hay una forma aproximada de pensar en ello: la prueba de chi-cuadrado es básicamente una prueba de 'bondad de ajuste'. A veces se le llama explícitamente de esa manera, pero incluso cuando no lo es, a menudo sigue siendo en esencia una bondad de ajuste. Por ejemplo, la prueba de chi-cuadrado de independencia en una tabla de frecuencias 2 x 2 es (en cierta medida) una prueba de bondad de ajuste de la primera fila (columna) a la distribución especificada por la segunda fila (columna), y viceversa, al mismo tiempo. Por lo tanto, cuando el valor de chi-cuadrado realizado está muy alejado en la cola derecha de su distribución, indica un ajuste pobre, y si está lo suficientemente lejos, en relación con algún umbral preespecificado, podríamos concluir que es tan pobre que no creemos que los datos provengan de esa distribución de referencia.

Si usáramos la prueba de chi-cuadrado como una prueba de dos lados, también estaríamos preocupados si la estadística estuviera demasiado en el lado izquierdo de la distribución de chi-cuadrado. Esto significaría que estamos preocupados de que el ajuste podría ser demasiado bueno. Simplemente no es algo por lo que típicamente nos preocupemos. (Como nota histírica, esto está relacionado con la controversia sobre si Mendel manipuló sus datos. La idea era que sus datos eran demasiado buenos para ser verdad. Consulte aquí para obtener más información si te interesa).

Answer 2

¿La prueba de chi-cuadrado siempre es una prueba unilateral?

Realmente depende de dos cosas:

1. qué hipótesis se está probando. Si estás probando la varianza de datos normales contra un valor específico, es bastante posible que estés tratando con las colas superior o inferior del chi-cuadrado (unilateral), o ambas colas de la distribución. ¡Tenemos que recordar que las estadísticas del tipo $\frac{(O-E)^2}{E}$ no son las únicas pruebas de chi-cuadrado en la ciudad!

2. si la gente está hablando de la hipótesis alternativa siendo unilateral o bilateral (porque algunas personas usan 'bilateral' para referirse a una alternativa bilateral, independientemente de lo que sucede con la distribución de muestreo de la estadística. Esto a veces puede ser confuso. Por ejemplo, si estamos viendo una prueba de proporciones de dos muestras, alguien podría escribir en la hipótesis nula que las dos proporciones son iguales y en la alternativa escribir que $\pi_1 \neq \pi_2$ y luego hablar de ella como 'bilateral', pero probarla usando un chi-cuadrado en lugar de una z-prueba, y por lo tanto solo mirar la cola superior de la distribución de la estadística de prueba (así que es bilateral en términos de la distribución de la diferencia en proporciones de muestra, pero unilateral en términos de la distribución de la estadística del chi-cuadrado obtenida a partir de eso, de la misma manera que si haces tu estadística t de prueba $|T|$, solo estás mirando una cola en la distribución de $|T|$).

Es decir, tenemos que ser muy cuidadosos sobre lo que queremos abarcar con el uso de 'prueba de chi-cuadrado' y precisos sobre lo que queremos decir cuando decimos 'unilateral' vs 'bilateral'.

En algunas circunstancias (dos que mencioné; puede haber más), puede tener perfecto sentido llamarlo bilateral, o puede ser razonable llamarlo bilateral si se acepta cierta laxitud en el uso de la terminología.

Puede ser una afirmación razonable decir que solo siempre es unilateral si restringimos la discusión a ciertos tipos de pruebas de chi-cuadrado.

Answer 3

La prueba de chi-cuadrado $(n-1)s^2/\sigma^2$ de la hipótesis de que la varianza es $\sigma^2$ puede ser de una o dos colas en exactamente el mismo sentido que la prueba t $(m-\mu)\sqrt{n}/s$ de la hipótesis de que la media es $\mu$ puede ser de una o dos colas.

Answer 4

Echa un vistazo al ejercicio 4.14 de Davidson & Mackinnon 'Econometric Theory and Methods' edición 2004 para un ejemplo (excepcional) de cuándo se usa el Chi-cuadrado para una prueba de dos colas.

Editar: gran explicación aquí: http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda358.htm

Answer 5

La respuesta de @gung es correcta y es la forma en que se debe interpretar la discusión de $\chi^2$. Sin embargo, puede surgir confusión a partir de otra interpretación:

Sería fácil interpretar un $\chi^2$ como 'de dos lados' en el sentido de que la estadística de prueba está típicamente compuesta por una suma de diferencias al cuadrado de ambos lados de una distribución original.

Esta interpretación sería confundir cómo se generó la estadística de prueba con qué colas de la estadística de prueba se están observando.