Dependencia de combinaciones lineales de vectores

Question

Este es un problema de ejercicio del libro Linear Algebra de Larry Smith, $3^{rd}$ Edición. Dados 4 vectores A, B, C y D en un espacio vectorial V, debemos demostrar que los 4 vectores siguientes en V son linealmente dependientes:

$v_1 = A + B + C + D, v_2 = 2A + 2B + C - D, v_3 = A - B + C$ y $v_4 = A - C + D$

Estos vectores $\{v_1,v_2,v_3,v_4\}$ son combinaciones lineales de las 4 anteriores. Además, no hay información sobre la dependencia de los vectores A, B C y D.

He intentado utilizar la relación $a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+a_4v_4=0$ y resolviendo los coeficientes $a_1,a_2,a_3,a_4$ pero no funcionó.

Gracias por la ayuda.

Answer 1

La afirmación es falsa. Supongamos que $V=\Bbb R^4$ que $A=(1,0,0,0)$ que $B=(0,1,0,0)$ que $C=(0,0,1,0)$ y que $D=(0,0,0,1)$ . Entonces

• $A+B+C+D=(1,1,1,1)$ ;
• $2A+2B+C-D=(2,2,1,-1)$ ;
• $A-B+C=(1,-1,1,0)$ ;
• $A-C+D=(1,0,-1,0)$ .

Y estos cuatro vectores son linealmente independiente ya que $$\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 1\end{vmatrix}=-13\ne0.$$

Answer 2

Sea $w_1=A,...,w_4 = D$ para mayor comodidad.

Podemos escribir $v_k = \sum_i [M]_{ik} w_i$ donde $M = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 & 1\end{bmatrix}$ .

Desde $\det M = -13 $ vemos que $M$ es invertible.

Es fácil comprobar que $w_i = \sum_k [M^{-1}]_{ki} v_k$ .

En particular, vemos que si $\sum_k \alpha_k v_k = 0$ entonces $\sum_i \beta_i w_i = 0$ donde $\beta = M \alpha$ .

Del mismo modo si $\sum_i \beta_i w_i = 0$ entonces $\sum_k \alpha_k v_k = 0$ donde $\beta = M \alpha$ .

Por lo tanto, si el $v_k$ son linealmente dependientes, entonces también lo son $w_i$ y viceversa.