Cifras surrealistas frente a análisis atípicos

Question

¿Cuál es la relación entre los números surrealistas y el análisis no estándar?

En concreto, ¿existe un principio de transferencia para los números surrealistas como el que existe para los NSA?

Una situación específica en la que este principio de transferencia sería útil surgió en el hilo Uniformización del círculo unitario surcomplejo ; puede la surjectividad del mapa $t \mapsto e^{it}$ de los reales al círculo complejo unitario a los surreales? Es de suponer que se necesitaría una definición del mapa que fuera en cierto sentido de primer orden; ¿qué tipo de definiciones se consideran de primer orden? No me queda claro cómo las definiciones que implican la operación de paréntesis de dos caras pueden encajar en un marco de primer orden.

Answer 1

En la sección final de mi artículo "The Absolute Arithmetic Continuum and the Unification of All Numbers Great and Small" (The Bulletin of Symbolic Logic 18 (2012), no. 1, pp. 1-45, no sólo señalo que los campos ordenados real-cerrados que subyacen a los sistemas de números hiperreales (es decir. los modelos no estándar de análisis) son isomorfos a subcampos iniciales del sistema de números surreales, sino que el propio sistema de números surreales es isomorfo al campo ordenado real-cerrado subyacente a lo que puede considerarse naturalmente como el sistema de números hiperreales máximo en NBG (teoría de conjuntos von-Neumann-Bernays-Gödel con elección global) -es decir, el sistema saturado de números hiperreales de potencia On, siendo On la potencia de una clase propia en NBG. De esto último se deduce inmediatamente que el campo ordenado de números surreales admite una extensión relacional a un modelo de análisis no estándar y, por tanto, que en dicha extensión relacional el principio de transferencia se cumple.

Por cierto, por subcampo inicial me refiero a un subcampo que es un subárbol inicial. Las discusiones sobre los números surrealistas (incluidas la mayoría de las primeras discusiones) que restan importancia o pasan por alto la unión entre el álgebra y la teoría de conjuntos, que es fundamental para la teoría, pasan por alto muchas de las características más significativas de la teoría. Además del artículo mencionado anteriormente, este matrimonio entre el álgebra y la teoría de conjuntos se discute en los siguientes artículos que se encuentran en mi sitio web http://www.ohio.edu/people/ehrlich/

"Sistemas numéricos con jerarquías de simplicidad: A Generalization of Conway's Theory of Surreal Numbers", The Journal of Symbolic Logic 66 (2001), pp. 1231-1258. Corrección de errores, 70 (2005), p. 1022.

"Conway Names, the Simplicity Hierarchy and the Surreal Number Tree", The Journal of Logic and Analysis 3 (2011) nº 1, pp. 1-26.

"Fields of Surreal Numbers and Exponentiation" (en coautoría con Lou van den Dries), Fundamenta Mathematicae 167 (2001), n.º 2, pp. 173-188; fe de erratas, ibid. 168, n.º 2 (2001), pp. 295-297.

Answer 2

La verdadera cuestión en lo que respecta a la "matemática ordinaria" es si existe una extensión surreal de los reales del tamaño de un conjunto útil para hacer análisis, y que como mínimo admita una función seno. Hasta donde yo sé, la respuesta es negativa.

Es decir, en los surreales no hay más principio de transferencia que el transferido de los hiperreales. Por lo tanto, si se desea hacer un análisis con algo más pequeño que la clase de números absolutamente más grande, los surreales no son una opción. Por ejemplo, todas las funciones reales se extienden a extensiones hiperreales del campo real, pero incluso una función tan simple como el seno no se extiende a extensiones surreales (sin pasar por una identificación de un campo surreal de tamaño de clase máximo y explotar una identificación de este último con un campo hiperreal de tamaño de clase e importar un principio de transferencia hiperreal a través de la identificación).