Zona sombreada en la espiral de Arquímedes. Por favor, valide.

Question

Estoy tratando de encontrar el área sombreada y así es como lo estoy haciendo.

$$\frac12\int_{2\pi}^{3\pi} \theta^2 \, d\theta = \frac 1 2 \left[{\frac{\theta^3}3}\right]_{2\pi}^{3\pi} = \frac12\left(\frac{27\pi^3}{3}-\frac{8\pi^3}{3}\right)$$

$$My\,Calculation\; \frac{19\pi^3}{6}$$

$$Expected\,Answer\;3\pi^3$$

¿Es incorrecta la respuesta esperada? o ¿Estoy haciendo algo mal?

Answer 1

Esa integral da el área limitada por esa sección, pero ignora totalmente el área recortada por una sección anterior de la curva, concretamente la de $[0, \pi]$ . Calculando y restando se obtiene el resultado deseado.