Definición abstracta . Sea $Rep(G)$ sea la categoría abeliana de representaciones complejas lisas de nuestro $p$ -grupo radical $G$ . El centro de Bernstein es el anillo de endomorfismo $\mathfrak Z(G)$ del funtor de identidad de $Rep(G)$ . Por tanto, actúa sobre cualquier representación lisa, y esta acción conmuta con cualquier $G$ -morfismo.
Como límite proyectivo . Sea $H$ sea un subgrupo abierto compacto. Sea $\mathfrak Z(G)$ actúan sobre la representación de permutación $\mathbb C[G/H]$ da un morfim al centro $Z(G,H)$ del álgebra de Hecke $\mathcal H(G,H)$ . Esto produce un isomorfismo $\mathfrak Z(G) \simeq \lim\limits_{\leftarrow H} Z(G,H)$ donde los mapas de transición vienen dados por la aplicación de idempotentes.
Realización geométrica . (aquí "geométrico" es en el sentido de fórmulas Trace, es decir, en el lado del análisis armónico). $\mathfrak Z(G)$ actúa sobre las representaciones regulares $C^\infty_c(G)$ . El emparejamiento $(z,f)\mapsto z.f(1)$ incrusta $\mathfrak Z(G)$ como un conjunto de distribuciones sobre $G$ . La imagen es el álgebra de convolución de "distribuciones invariantes esencialmente compactas".
Realización espectral . Por el lema de Schur (que se cumple en este contexto), $\mathfrak Z(G)$ actúa sobre cualquier representación irreducible $\pi$ a través de un personaje $\theta_\pi:\mathfrak Z(G)\longrightarrow \mathbb C$ . Esto se denomina a veces el "carácter infinitesimal" de $\pi$ por analogía con la situación arquimediana, aunque aquí no hay nada "infinitesimal". Obtenemos así una realización de $\mathfrak Z(G)$ como un álgebra de funciones continuas sobre el dual liso $\hat G$ de $G$ equipado con la topología Fell.
Hasta ahora, nada profundo. Ahora, dos logros importantes en la teoría de representación de grupos p-ádicos son
- el teorema de Bernstein, que describe explícitamente la realización espectral,
- la fórmula de Harish Chandra Plancherel que proporciona un vínculo entre ambas realizaciones.
Permítanme intentar describir el resultado de Bernstein. Bernstein primero divide la categoría $Rep(G)$ como un producto (infinito) de subcategorías abelianas indecomponibles (llamadas "bloques"). En consecuencia, el dual liso se descompone en infinitas componentes conectadas, y el centro se descompone como un producto infinito de anillos.
El ejemplo más sencillo es el de una compacta $G$ (por ejemplo, el núcleo del mapa normativo en un álgebra de división). En este caso, $\hat G$ es discreto y el centro es un producto de copias de $\mathbb C$ indexado por el conjunto de clases de irreps. El siguiente ejemplo es el de un centro-mod compacto $G$ (por ejemplo, el grupo unidad de un álgebra de división). En este caso existe una acción del grupo $\Psi(G)$ de caracteres no ramificados de $G$ en $\hat G$ . Tenga en cuenta que $\Psi(G)$ es naturalmente un toro algebraico sobre $\mathbb C$ porque $G$ mod su subgrupo compacto maximal es un grupo abeliano libre de tipo finito. Ahora, las componentes conexas son las órbitas de $\Psi(G)$ y la topología es la del espacio homogéneo. En particular, cada órbita lleva una estructura natural de una variedad algebraica sobre $\mathbb C$ . Por fin, $\mathfrak Z(G)$ es el producto directo del anillo de funciones regulares sobre estas órbitas.
Pasemos al caso general. Supongamos primero que $G$ es semisimple. Entonces cada representación supercuspidal da un punto aislado en el dual liso $\hat G$ porque tales representaciones son objetos proyectivos e inyectivos. Por lo tanto, denotando por $Cusp(G)$ el conjunto de (clases isómicas de) irreps supercuspidales, el anillo $\mathbb C^{Cusp(G)}$ es un factor de $\mathfrak Z(G)$ . Si $G$ es reductora, entonces $Cusp(G)$ sigue abierto y cerrado en $\hat G$ pero no es discreto. Como arriba, $\Psi(G)$ actúa sobre $Cusp(G)$ y esta última es la unión disjunta de órbitas bajo $\Psi(G)$ con la topología cociente natural. El correspondiente producto de anillo de funciones regulares sobre cada órbita es entonces un factor de $\mathfrak Z(G)$ la parte "cuspidal" $\mathfrak Z(G)_{cusp}$ de $\mathfrak Z(G)$ .
Ahora queda el paso crucial de describir la parte no cuspidal del centro. Bernstein utiliza la inducción parabólica a partir de los subgrupos de Levi. Una forma rápida de enunciar el resultado final es : $$ \mathfrak Z(G)\simeq \left( \prod_M \mathfrak Z(M)_{cusp} \right)^G$$ Aquí el producto es sobre todo el subgrupo de Levi y $G$ actúa por conjugación. Para obtener algo menos espantoso, se puede fijar un toro dividido máximo $T$ restringir el producto a aquellos $M$ que contienen $T$ (finitamente muchos) y tomar $N_G(T)$ -invariantes.
En particular, los componentes conectados se etiquetan mediante clases de conjugación de $\Psi(M)$ -orbits en $Cusp(M)$ . Supongamos que $G$ se divide para simplificar. Un componente especialmente interesante es el que corresponde al $\Psi(T)$ órbita del carácter trivial de $T$ . Su contribución a $\mathfrak Z(G)$ es isomorfo a $\mathbb C [X(T)]^W$ . Este componente contiene las representaciones no ramificadas y la acción de $\mathbb C[X(T)]^W$ en cada representación viene dada por su parámetro Satake. De hecho, la componente conexa correspondiente de $\hat G$ es el conjunto de irreps que tienen invariante no trivial bajo un subgrupo Iwahori, y se recupera el hecho de que el centro del álgebra de Hecke-Iwahori se identifica con $\mathbb C[X(T)]^W$ . Por último, obsérvese que este anillo parece una "versión grupal" del centro de un álgebra envolvente, por lo que la analogía con el contexto arquimediano es aún más profunda de lo esperado.
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Sobre el vínculo con la fórmula de Plancherel. Denote por $\hat G_u$ el dual unitario liso interior $\hat G$ . El teorema abstracto de Plancherel dice que existe una medida $d\pi$ en $\hat G_u$ tal que para cualquier $f \in C^\infty_c(G)$ (incluso para $f$ en el álgebra de Schwartz) tenemos $$ \int_{\hat G_u} Tr(\pi(f)) d\pi = f(1). $$ Tenga en cuenta que $d\pi$ depende de la elección de una medida de Haar sobre $G$ y la misma elección se hace para que $f$ actuar $\pi$ . Sea $z\in \mathfrak Z(G)$ aplicando la fórmula a $z.f$ se obtiene la fórmula $$ \int_{\hat G_u} Tr(\pi(f)) \theta_\pi(z) d\pi = (z.f)(1) $$ que expresa la distribución asociada a $z$ (realización geométrica) en términos de la su acción sobre $\hat G_u$ . Por supuesto, esto sólo es útil si se dispone de una fórmula explícita para la medida $d\pi$ . Tal fórmula es proporcionada por el teorema de Harish Chandra.
El primer punto es que la medida de Plancherel está soportada en el espectro templado. Este último se descompone como una unión disjunta de infinitas componentes conectadas de forma similar al dual liso completo, salvo que ahora se considera que $\Psi_u(M)$ -de series discretas, donde $\Psi_u(M)$ denota ahora caracteres unitarios no ramificados (un toro compacto dentro de $\Psi(M)$ ). Así que cada componente es un cociente de algún espacio homogéneo bajo algún $\Psi_u(M)$ . El segundo punto es que en tal componente atemperada, la medida de Plancherel es absolutamente continua respecto a la medida natural de Lebesgue, y de hecho viene dada por alguna función racional. El cálculo preciso de esta función racional no lo da Harish Chandra, y de hecho no sé si se conoce en general (quizá sí para grupos clásicos).
Relación con las representaciones de Galois Supongamos que $G=GL_n$ y considerar la correspondencia Langlands $\pi \mapsto \sigma(\pi)$ entre representaciones irreducibles de $G$ y las representaciones de Weil-Deligne. Entonces $\pi$ y $\pi'$ se encuentran en la misma componente de Bernstein si y sólo si la restricción a la inercia de la acción del grupo de Weil sobre $\sigma(\pi)$ y $\sigma(\pi')$ son isomorfas. Supongo que son templados si la filtración monodrómica de $\sigma(\pi)$ es puro de peso $0$ y en este caso $\pi$ y $\pi'$ están en el mismo componente templado si las restricciones de $\sigma(\pi)$ y $\sigma(\pi')$ a (Inercia $\times \langle N\rangle$ ) son isomorfas.
Aplicaciones en el contexto mundial En la aproximación de Langlands-Kottwitz al recuento de puntos en variedades de Shimura en el nivel hiperespecial, hay que introducir una determinada función esférica (que depende del dato de Shimura) en la fórmula Trace. En el nivel Iwahori, los trabajos de Haines, Rapoport y Kottwitz muestran que hay que introducir un elemento del centro del álgebra de Iwahori-Hecke. A continuación, conjeturaron que un fenómeno similar debería producirse en un nivel más profundo.
En términos más generales, los trabajos recientes de Scholze demuestran (si he entendido algo, ¡quizá me contradiga pronto!) que si se fija un elemento $\tau$ en el grupo de Weil (pero fuera del grupo de inercia) y se considera la función $\pi \mapsto Tr(\tau, \sigma(\pi))$ se obtiene un elemento de $z_\tau\in \mathfrak Z(G)$ tal que para $H$ un subgrupo de congruencia, la traza de $\tau$ en la cohomología de una variedad Shimura (adecuada) de nivel local $H$ puede calcularse utilizando una fórmula de traza evaluada en una función de prueba cuyo factor local es (asociado a) la función $z_\tau.e_H$ .
No puedo dar más detalles al respecto, pero el lema es : los elementos centrales (deberían) proporcionar buenas funciones de prueba en el recuento de puntos en variedades de Shimura.
