Divisibilty y eulers thereom

Question

Si $\gcd(a,b)=1$

¿es cierto que, $$a^{\phi(b)}+b^{\phi(a)}=1\mod ab$$

Creo que la respuesta es sí, pero no estoy exactamente seguro de mi razonamiento

$a^{\phi(b)}=1\mod b$

y $b^{\phi(a)}=1\mod a$

por el teorema de Euler.

La pregunta es si

$$ab| a^{\phi(b)}+b^{\phi(a)}-1$$

Entonces, ¿cuál sería una forma mejor de ver esto?

Answer 1

Ya casi has terminado. Tenga en cuenta que $\text{CRT}$ todo lo que tienes que notar ahora es el hecho de que $$a^{\phi(b)}+b^{\phi(a)} \equiv b^{\phi(a)}\equiv 1\pmod a$$$$ a^{\phi(b)}+b^{\phi(a)} \equiv a^{\phi(b)}\equiv 1\pmod b $$ From Euler's Theorem. So we can conclude $$ a^{\phi(b)}+b^{\phi(a)}\equiv 1\pmod {ab} $$ As $ \gcd(a,b)=1$.