¿Qué significa el doble de una media de tensor (p. ej., tensor de tensión doble en ED relativisto)?

Question

Yo sé cuál es el dual de un vector de medios (como un mapa de su campo), y también estoy conscientes de la definición de un doble de un tensor como,

$$F^{*ij} = \frac{1}{2} \epsilon^{ijkl} F_{kl}\tag{1}$$

Yo no entiendo cómo conectar este a la definición de la doble de un vector. O son totalmente diferentes conceptos? Si son diferentes entonces ¿por qué usar la palabra dual?

Sé que esta es la clase de matemática o puede ser una pregunta tonta, pero tengo un problema con la comprensión de la necesidad dual de Doble intensidad de Campo Tensor en relativista, ED. Quiero decir, usted podría decir que voy a definir otro tensor utilizando eq. (1) llamar a lo que nos gusta.

Answer 1

Este es de hecho un comentario a la respuesta de Stephen Blake. Me sugirieron respuesta, y creo que debería hacer, pero la respuesta es demasiado largo para un comentario.

Es correcto lo que se dice en Stephen Blake respuesta acerca de la regla de Cramer. No es correcto que las dos dualidades son los mismos. Creo que hay una confusión, que puede hacer que el lector más que confundir. Hay tres espacios involucrados, y tres isomosrphisms, de los cuales uno de ellos se obtiene mediante la composición de los otros dos. Pero hay al menos dos isomorphisms para empezar, no solo uno, como Stephen Blake reclamaciones. Por favor, consulte en lo que sigue, tanto a mi respuesta, y a Stephen Blake respuesta.

El dual de Hodge entre el $\wedge^k V$ $\wedge^{n-k}V$ puede ser expresado con la de Levi-Civita símbolo en forma

$$\epsilon_{i_1\ldots i_k}{}^{i_{k+1}\ldots i_{n}}$$

por $$(*A)^{i_{k+1}\ldots i_{n}}=\frac{1}{k!}\epsilon_{i_1\ldots i_k}{}^{i_{k+1}\ldots i_{n}} A^{i_1\ldots i_k}$$

Esta forma de Levi-Civita símbolo se obtiene por el aumento de algunos de los índices de la siguiente forma de la de Levi-Civita símbolo

$$\epsilon_{i_1\ldots i_ki_{k+1}\ldots i_{n}}.$$

Por lo general son considerados a ser el mismo, porque de el musical isomorphisms, que son en realidad la dualidad isomorphisms entre el$V$$V^*$.

$$\epsilon_{i_1\ldots i_k}{}^{i_{k+1}\ldots i_{n}}=g^{i_{k+1}j_{k+1}}\ldots g^{i_{n}j_{n}}\epsilon_{i_1\ldots i_k j_{k+1}\ldots j_{n}}.$$

La de Levi-Civita símbolo $\epsilon_{i_1\ldots i_ki_{k+1}\ldots i_{n}}$ establece un isomorfismo entre el$\wedge^k V$$\wedge^{n-k}V^*=(\wedge^{n-k}V)^*$. Me dio ejemplo de esto en mi respuesta, para$n=4$$k=2$.

Es una cuestión de convención, ya sea para definir el dual de Hodge como el isomorfismo entre el $\wedge^k V$ $\wedge^{n-k}V$ (esta fue mi elección), o que entre el$\wedge^k V$$\wedge^{n-k}V^*$. Después de la definición que se da en uno o el otro camino, a paso de uno de los dos isomorphisms a la otra, utilizamos el musical isomorfismo (la dualidad isomorfismo entre las $V$$V^*$).

Es verdad que se puede obtener por la regla de Cramer el doble de una base en la $V$, mediante el uso de la de Levi-Civita símbolo, pero esto no es bastante el isomorfismo entre el$V$$V^*$. Es más bien el isomorfismo entre el$\wedge^{n-1}V$$V^*$. Y si queremos identificar a $\wedge^{n-1}V$$V$, utilizamos implícitamente el dual de Hodge entre ellos. Así, la afirmación de que las dos dualidades son la misma se basa en el uso de la definición de la Hodge dual como el isomorfismo entre el$\wedge^k V$$\wedge^{n-k}V$, y que entre el$\wedge^k V$$\wedge^{n-k}V^*$. La dualidad entre el $V$ $V^*$ se obtuvo mediante la composición de las dos versiones de Hodge dual, que contienen implícitamente el musical isomorfismo. Así que dos de los tres isomorphisms son fundamentales.

Por otro lado, como he explicado en mi respuesta, el dual de Hodge se construye con el interior del producto, que puede ser visto como la dualidad entre el$V$$V^*$. En este sentido, la dualidad entre el $V$ $V^*$ es más fundamental.

Answer 2

El dual de un tensor que te refieres es el dual de Hodge, y no tiene nada que ver con el doble de un vector. La palabra "dual" se utiliza en muchos contextos diferentes, y en este caso es aún utilizado el mismo $*$ símbolo. Uno por lo general se especifica "Hodge dual", o "estrella de Hodge operador", para evitar confusiones. Ambos de estos "dobles" son isomorphisms entre espacios vectoriales dotados con producto interior.

El dual de un espacio vectorial $V$ es el espacio vectorial $V^*$ consiste en las funciones lineales (funcionales) $f:V\to \mathbb R$ (o $\mathbb C$ si $V$ es un complejo espacio vectorial). El dual de un vector $v\in V$ sólo tiene sentido si $V$ está dotado con un producto interior $g$, y se define como $v^\flat\in V^*$, $v^\flat(u)=g(v,u)$. Este doble es un isomorfismo entre el producto interior espacio vectorial $(V,g_{ab})$ y su dual $(V^*,g^{ab})$.

El dual de Hodge se define en totalmente antisimétrico tensores de $\otimes^k V$, es decir, en $\wedge V^k$. Se define en $\wedge V\to \wedge V$ donde $\wedge V=\oplus_{k=0}^n\wedge^k V$. También se requiere la existencia de un producto interior $g$$V$. El interior del producto se extiende canónicamente a la totalidad de la $\wedge V$.

El dual de Hodge se define como sigue. Construimos una base sobre la $V$, que es ortonormales con respecto al producto interior $g$, decir $e_1,\ldots,e_n$. A continuación, para cada una de las $k$, existe una base de $\wedge^k V$ de la forma $e_{i_1}\wedge\ldots \wedge e_{ik}$. Esta base se considera ortonormales demasiado, y por esto, $g$ define un producto interior en $\wedge^kV$.

El dual de Hodge se define primero entre las $\wedge^kV\to\wedge^{n-k}V$, Ambos espacios tienen la misma dimensión, que es $C^k_n$. La canónica isomorfismo entre ellos se define primero en los elementos de la base:

$$*(e_{i_1}\wedge\ldots\wedge e_{i_k})=\epsilon e_{j_i}\wedge\ldots\wedge e_{j_{n-k}}.$$ Aquí, los índices de $i_1,\ldots,i_k,j_1\ldots j_{n-k}$ son una permutación de los números entre el $1$ y $n$. $\epsilon$ es $+1$ si la permutación $i_1,\ldots,i_k,j_1\ldots j_{n-k}$ es aún, y $-1$ lo contrario. De esta forma se define de forma única la isomporphism. Se extiende únicamente a $\wedge V=\oplus_{k=0}^n\wedge^k V$, ya que esta es una suma directa de espacios vectoriales.

Por favor, tenga en cuenta que los vectores también admitir Hodge duales, pero sus duales son elementos de $\wedge^{n-1}V$.

Ya que podemos considerar que el $\mathbb R=\wedge^0 V$, el dual de Hodge de la escalares $1$ es el elemento de volumen $*1:=e_1\wedge\ldots\wedge e_n\in\wedge^n V$. En una base, se denota por a $\epsilon_{12\ldots n}$.

Del mismo modo, el dual de Hodge puede ser definido en el espacio de las formas exteriores $\wedge V^*$.

En el caso de Lorenz spacetimes de dimensión $4$, la Hodge dualidad establece isomorphisms entre el$\mathbb R$$\wedge^4 V$, entre el$V$$\wedge^3 V$, y entre el $\wedge V^2$ y el sí mismo.

Una forma alternativa de construir la Hodge dualidad es para el álgebra de Clifford asociados a $V$. En este caso, hay un isomorfismo (como espacios vectoriales con producto interior) entre $\wedge V$$Cl(V)$. El dual de Hodge traducido para el álgebra de Clifford lenguaje como Clifford multiplicación con la $n$-vector que corresponde al elemento de volumen, $\gamma_1\cdot\gamma_2\cdot\ldots\cdot\gamma_n$.

De vuelta a la confusión de la terminología. Para un vector $v\in V$, el doble es un covector $v^\flat\in V^*$. El dual de Hodge puede ser obtenida mediante la construcción de una base ortonormales a partir de $v$, luego de tomar la cuña de productos entre los otros elementos, y se divide por la longitud de $v$. El resultado es de $\wedge^{n-1}V$, no de $V^*$. Todos estos tres espacios son isomorfos, en una forma ortodoxa, y también con $\wedge^{n-1}V^*$, mediante la composición de los dos tipos de dualidades. Pero las dos dualidades consulte totalmente distintas, isomorphisms.

En relación con la Electrodinámica (en el espacio-tiempo de Lorenz), el dual de Hodge de la electromagnético tensor aparece en las ecuaciones de Maxwell:

$$d F=0$$

y

$$d *F=*J$$

donde $J$ es el actual $1$-forma. De estas dos ecuaciones contienen las cuatro ecuaciones de Maxwell. Aquí, $*F$ es el dual de Hodge de la electromagnético tensor $F$, e $*J$ de la $1$forma $J$ (que a su vez es el "doble" en el otro sentido de la corriente, el vector).

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Agregó

Para estar más cerca de la pregunta. La ecuación

$$*F_{ij} = \frac{1}{2} \epsilon_{ij}{}^{kl} F_{kl}$$

representa la Hodge dualidad entre el $\wedge^2V$ y el sí mismo. Pero

$$*F^{ij} = \frac{1}{2} \epsilon^{ijkl} F_{kl}\tag{1}$$

es una dualidad entre el$\wedge^2V$$\wedge^2V^*$. También existe la dualidad en el primer sentido, entre el $\wedge^2V$ $\wedge^2V^*$ (que se extiende entre el$V$$V^*$). Así, hay dos distintos isomorphisms entre los espacios vectoriales con producto interior $\wedge^2V$$\wedge^2V^*$.

Answer 3

Cristi Stoica la respuesta de que las dos nociones de dualidad son completamente diferentes el uno del otro es repetida por varios de los libros de texto estándar; véase el ejercicio 3.14 en la página 88 de la "Gravitación" por MTW y sección 4.9 en la página 125 de "métodos Geométricos de la física matemática" por Bernard Schutz. A pesar de esto, voy a mostrar que las dos nociones de dualidad son los mismos.

Deje $e_{a}$ $a=1,\ldots,m$ ser un conjunto de vectores de la base que abarca la espacio vectorial $V_{m}$. El vector $e_{a}$ tiene componentes $e^{i}_{\ a}$ donde $i=1,\ldots,m$. La cantidad de $e^{i}_{\ a}$ puede ser estudiado como una $m\times m$ matriz. Cartas de $i,j,k$ será utilizado para los componentes de un vector y $a,b,c$ será utilizado para la etiqueta de la base de vectores propios. El espacio dual $\tilde{V}_{m}$ es generado por los vectores de la base dual $e^{a}$; los vectores de la base y la base dual han escalar productos $\langle e^{a}|e_{b}\rangle=\delta^{a}_{b}$. El producto escalar es una contracción, $$ \langle e^{un}|e_{b}\rangle= [e^{a}]_{i}[e_{b}]^{i}=[e^{a}]_{i}e^{i}_{\ b}=\delta^{a}_{b} $$ de modo que la doble base de vectores $e^{a}$ tiene componentes $[e^{-1}]^{a}_{\ i}$; como una matriz, el conjunto de dos vectores de la base es la inversa de la matriz para el conjunto de los vectores de la base. La regla de Cramer dice, $$ [e^{-1}]^{a}_{\ i}=\frac{1}{\det{e}} \epsilon_{k_{1}\ldots i\ldots k_{m}}e^{k_{1}}_{\ 1}\ldots \verificación{e^{k_{un}}_{\ a}} \ldots e^{k_{m}}_{\ m} $$ donde el componente $i$ sobre el lado derecho es en el $a$º lugar en la Levi-Civita tensor y la verificación sobre la base de vectores $e_{a}$ significa es omitido. La regla de Cramer muestra que uno puede hacer el doble de vectores $e^{a}$ que abarcan $\tilde{V}_{m}$ por una contracción de la $m-1$ base de vectores $e_{1}\ldots \check{e_{a}}\ldots e_{m}$ con el Levi-Civita tensor. La noción de la dualidad que hace que los nuevos tensores por la contratación con la de Levi-Civita tensor se dice que nada que ver con la dualidad entre un conjunto de vectores de la base y la base dual, pero la regla de Cramer muestra que se puede obtener el conjunto de de dos vectores de la base mediante la contratación de los conjuntos de vectores de la base con la de Levi-Civita tensor: las dos nociones de dualidad son, de hecho, el mismo.