$$\sin x = x\prod_{n=1}^\infty \left[1-\frac{x^2}{n^2\pi^2}\right]$$
Si aplica $\log$ a ambos lados y derivar:
$$\cot x = \frac{1}{x} - \sum_{n=1}^\infty \left[\frac{2x}{n^2\pi^2} \frac{1}{1-\frac{x^2}{n^2\pi^2}}\right]$$
Tengo que hacer la ampliación:
$$\frac{1}{1-\frac{x^2}{n^2\pi^2}} = 1 + {\left(\frac{x^2}{n^2\pi^2}\right)} + \left(\frac{x^2}{n^2\pi^2}\right)^2 + \left(\frac{x^2}{n^2\pi^2}\right)^3 + \cdots \tag{1}$$
Pero para esto, voy a ampliar la suma infinita:
$$\cot x = \frac{1}{x} - \left(\frac{2x}{1^2\pi^2} \frac{1}{1-\frac{x^2}{1^2\pi^2}} + \frac{2x}{2^2\pi^2} \frac{1}{1-\frac{x^2}{2^2\pi^2}} + \frac{2x}{3^2\pi^2} \frac{1}{1-\frac{x^2}{3^2\pi^2}}+\cdots\right)$$
Así que puedo entender los límites de esta expansión (porque la serie $\frac{1}{1-x}=1 + x + x^2 + x^3 + \cdots$ mientras $|x|<1$ .
Entonces, ¿tengo razón al decir que puedo hacer la expansión $(1)$ mientras $|x|<\pi$ ? Porque para $x=\pi$ que tenemos: $$\frac{1}{1-\frac{\pi^2}{1^2\pi^2}} = \frac{1}{1-1}$$ Y si $|x|<\pi$ los otros términos como:
$$\frac{1}{1-\frac{\pi^2}{2^2\pi^2}}$$ Puede ampliarse mediante $(1)$ también.
Así que..:
$$\cot x = \frac{1}{x} - \sum_{n=1}^\infty \left[\frac{2x}{n^2\pi^2} \left(1 + {\left(\frac{x^2}{n^2\pi^2}\right)} + \left(\frac{x^2}{n^2\pi^2}\right)^2 + \left(\frac{x^2}{n^2\pi^2}\right)^3 + \cdots \right)\right]\tag{$ |x|<\pi $}$$ $$x \cot x = 1 - 2\sum_{n=1}^\infty \left[\frac{x^2}{n^2\pi^2} + \frac{x^4}{n^4\pi^4} + \frac{x^6}{n^6\pi^6} + \frac{x^8}{n^8\pi^8} + \cdots\right]$$
Y finalmente el famoso: $$x \cot x = 1 - 2\sum_{n=1}^{\infty} \left[\zeta(2n)\frac{x^{2n}}{\pi^{2n}}\right]\tag{$ |x|<\pi $}$$
¿Estoy en lo cierto con los límites para $x$ ?
