Resolución de un PIV de primer orden

Question

Quiero resolver el siguiente problema de valor inicial:

$$(1+x)dy + \sqrt{y}dx =0,\,\, y(0)=1~.$$

Me doy cuenta de que la ecuación es separable, por lo tanto, $$ \int \frac{1}{\sqrt{y}} dy = - \int \frac{1}{1+x} dx $$ para que $$ 2\sqrt{y} = -\ln|1+x| +C $$

Pero la condición inicial sugiere que $(1+x) \gt 0$ . Así pues, tenemos $$ 2\sqrt{y} = -\ln(1+x) +C~~(*)$$ Aplicando la condición inicial obtenemos $C=2$ de modo que la solución pasa a ser $$ 2\sqrt{y} = -\ln(1+x) + 2 \,\,\text{or}\,\, y = ( -\frac{1}{2} \ln(1+x) +1)^2~. $$

Mi pregunta es la siguiente: A partir de (*), también se podría encontrar primero $$ y = (-\frac{1}{2} \ln(1+x) + \frac{C}{2})^2 $$ y aplicando la condición inicial, se obtiene $$ 1 = \frac{C^2}{4} \implies C = \pm 2$$

Elegir ahora $C=2$ obtenemos $y$ como antes. Pero elegir $C =-2$ arroja una solución diferente. ¿Cómo sabemos cuál $C$ ¿para elegir? ¿Cómo conciliar ambos enfoques? ¿Qué enfoque es mejor?

Answer 1

Hay que recordar que la raíz cuadrada de un número $y$ es un número no negativo. Por lo tanto, cuando se toma $C=-2$ , $-\frac{1}{2} \ln(1+x) + \frac{C}{2}$ es negativo en la vecindad de $x=0$ .

En consecuencia, la raíz cuadrada de $$y(x) = (-\frac{1}{2} \ln(1+x) -2)^2 $$ no es $\sqrt{y(x)} = -\frac{1}{2} \ln(1+x) -2$ (que no es positivo en la vecindad de $0$ ) sino todo lo contrario $$\sqrt{y(x)} = \frac{1}{2} \ln(1+x) +2$$

Pero entonces $y(x)$ ya no es una solución del PIV original.

Conclusión: el IVP sólo tiene una solución con la condición inicial $y(0)=1$ que corresponde a $C=2$ .