Sea $M$ ser un $R$ -y que $U\subset R$ sea un subconjunto cerrado multiplicativamente. Sea $M_U$ sea la localización de $M$ en $U$ y que $R_U$ sea la localización de $R$ en $U$ . Entonces tenemos el "bien conocido" isomorfismo $$ M_U\cong M\otimes_R R_U. $$ Mi pregunta es, cómo es un isomorfismo de $R_U$ ¿módulos? Veo que es un isomorfismo de $R$ módulos, pero no como $R_U$ módulos. Principalmente, ¿cómo se $M\otimes_R R_U$ un $R_U$ -¿Módulo? Si $\frac{s}{v}\in R_U$ y $m\otimes \frac{r}{u}\in M\otimes_R R_U$ deberíamos ser capaces de escalar $m\otimes\frac{r}{u}$ por $\frac{s}{v}$ Si esto fuera un $R_U$ -módulo. Pero por propiedades del producto tensorial, $$ \frac{s}{v}\cdot(m\otimes\frac{r}{u})=(\frac{s}{v}m)\otimes\frac{r}{u}. $$ Esto no tiene sentido para mí, porque $\frac{s}{v}m\not\in M$ . ¿Qué me falta?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En $R_U$ -La estructura del módulo viene dada por la actuación sobre el factor derecho. Puede quedar un poco más bonito escribirlo como una acción sobre el derecho
$$\left( m \otimes \frac{r}{u} \right) \frac{s}{v} = m \otimes \frac{rs}{uv}$$
aunque por supuesto como todos los anillos son conmutativos aquí las acciones izquierda y derecha son las mismas.
En general, si $f : R \to S$ es un homomorfismo de anillo y $M$ es una (derecha) $R$ -módulo, la extensión de escalares $M \otimes_R S$ adquiere canónicamente la estructura de un (derecho) $S$ -módulo. Esta construcción da un functor $\text{Mod}(R) \to \text{Mod}(S)$ adjunto a la izquierda del funtor de restricción de escalares dado por el retroceso a lo largo de $f$ .
