Estoy leyendo sobre la historia de la teoría de caracteres de grupos finitos, especialmente sobre la invención de la teoría de caracteres por Frobenius.
Según la mayoría de los trabajos relacionados (p. ej. Pioneros de la teoría de la representación de C.W.Curtis), antes aparece el carácter de los grupos abelianos, que se definió como un homomorfismo a partir de un grupo abeliano $G$ a $C^{\times}$ . Y es el problema de la factorización de los determinantes de grupo lo que motiva la generalización de Frobenius de los caracteres a grupos finitos arbitrarios, como se describe en la introducción de uno de los trabajos de Frobenius Acerca de los grupos de trabajo .
He aquí la definición original de Frobenius: Sea $G$ sea un grupo finito. Para cada clase de conjugación $C_{i}$ de $G$ , dejemos que $h_{ijk}$ sea el número de soluciones de la ecuación de las ecuaciones $abc = 1$ para $a\in C_{i}, b\in C_{j}, c\in C_{k}$ . Denotemos como $C_{i^{'}}$ la clase de conjugación formada por los inversos de los elementos de $C_{i}$ y poner $$a_{ijk}=\frac{h_{i^{'}jk}}{|C_{i}|}.$$ Mediante la resolución de las "ecuaciones de estructura $$r_{j}r_{k}=a_{ijk}r_{i},$$ Frobenius consiguió $n$ diferentes soluciones $(r_{q1}, r_{q2}, ..., r_{qn})$ . Luego definió un carácter de un grupo finito $G$ como función de clase (constante en cada clase de conjugación $C_{i}$ ) $\chi$ teniendo en cuenta $g\in C_{i}$ el valor $$\chi_{q}(g) = \frac{fr_{qi}}{|C_{i}|},$$ donde ${r_{qi}}$ viene dada anteriormente por las ecuaciones de estructura y $f$ se utiliza para normalizar $\chi_{q}$ para que satisfaga las relaciones de ortogonalidad.
Esta definición parece comprensible en el contexto moderno de la teoría de la representación. Lo que me parece muy poco natural es que esta definición es provocada por el intento de factorizar el determinante del grupo .
En primer lugar, los coeficientes de los factores lineales del determinante del grupo son exactamente los caracteres lineales del grupo, y cualquier otro factor del determinante tiene un grado superior a $1$ y no pueden factorizarse en formas lineales, por lo que no parece haber razón para generalizar los caracteres al caso no abeliano dado que los factores lineales son los únicos que aparecen en la factorización.
Además, no veo cómo intuitivamente este problema de factorización podría proporcionar alguna pista que condujera a una definición explícita de carácter de grupo como la anterior. Parece que la idea de Frobenius era construir un homomorfismo a $C^{\times}$ de un álgebra cuyos elementos son las clases de conjugación con la operación inducida por la ley de multiplicación habitual de un grupo. Entiendo lo que es esta álgebra en el contexto moderno, pero no puedo entender cómo esta última fue motivada por el problema de la factorización.
Por último, Frobenius optó por basar su definición en "hipercomplejos" (parece equivalente al concepto moderno de álgebra). No veo la relación entre los 'hipercomplejos' y el problema de la factorización.
¿Sería alguien tan amable de explicar la intuición que hay detrás de esta definición, dado el contexto de los determinantes de grupo? Gracias de antemano.
