Reto del triángulo de tres colores

Question

Problema :

Hay un triángulo invertido puntos de color. Los colores son rojo, azul y amarillo. Si los dos puntos de arriba son del mismo color, entonces el tercer punto de abajo coincide con ambos. Si los dos puntos de arriba son de colores diferentes, entonces el tercero de abajo es diferente de cualquiera de los dos.

Estos son algunos ejemplos

Si haces una fila de color de sólo 3 puntos, ¿puedes predecir el resultado? ¿Hay algún patrón? ¿Qué te parecen 4 puntos? Intenta lo mismo con 5 y 6 puntos y comprueba si encuentras alguna simplificación. Utiliza este patrón para predecir una fila de 28 puntos.

Mi progreso:

He leído un artículo sobre esto en Internet y parece que para un número par de puntos para la fila superior el producto de los dos da el punto final. Para los Impares puedo tallar dos triángulos y obtener el problema. Sin embargo, necesito una solución basada en la simplificación de 3/4 filas de puntos.

He enumerado las posibilidades de 3 puntos:

• Si los tres colores son diferentes, el del medio es el definitivo (por ejemplo, B R Y = R)
• Si se trata de dos colores
  • Si el de impar está en medio, es el color que no interviene (por ejemplo, YBY = R)
  • Si el impar es el primero o el último, es ése (por ejemplo YBB = Y)

Sin embargo, no entiendo cómo puedo aplicar el patrón anterior a 4, 5 y luego 28 puntos para llegar a una solución más rápida.

Answer 1

Piensa en los colores como enteros módulo $3$ . Así que puede pensar en las filas como vectores sobre $\Bbb F_3$ . Si una fila es $(a_1,\ldots,a_n)$ entonces la siguiente fila es $(-a_1-a_2,-a_2-a_3,\ldots,-a_{n-1}-a_n)$ . El próximo será $(a_1+2a_2+a_3,a_2+2a_3+a_4,\ldots)$ . Empezando por la fila superior $(a_1,\ldots,a_n)$ Creo que el color de la última fila será $$(-1)^{n-1}\sum_{k=1}^n\binom{n-1}{k-1}a_k$$ modulo $3$ .