Sobre el operador acotado en el espacio normado

Question

Supongamos que $T$ es un operador lineal de un espacio normado $X$ en un espacio normado $Y$ tal que $\sum_{n=1}^{\infty} T (x_{n})$ es una serie convergente en $Y$ siempre que $\sum_{n=1}^{\infty} x_{n}$ es una serie absolutamente convergente en $X .$ Demostrar que $T$ está limitada.

Teorema. Sea T un operador lineal de un espacio normado X a un espacio normado Y. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes.

(i) $T$ es continua en $X$

(ii) $T$ es continua en $0 \in X$

(iii) $\sup \left\{\|T x\|: x \in B_{X}\right\}<\infty$ En este caso, dejemos que $\|T\|=\sup \left\{\|T x\|: x \in B_{X}\right\}$ y $T$ se dice que está acotada.

Creo que sí:

PRUEBA. Sea $\sum_{n} x_{n}$ sea una serie absolutamente convergente en $X$ . Demostramos que $\left\|T\left(\sum_{n} x_{n}\right)\right\| \leq \sum_{n}\left\|T x_{n}\right\|,$ por lo que cabe suponer que $\sum_{n}\left\|T x_{n}\right\|$ es finito, lo que unido a la completitud de $Y$ implica que la serie absolutamente convergente $\sum_{n} T x_{n}$ converge. ya que $\sum_{n=1}^{m} x_{n} \rightarrow \sum_{n} x_{n}$ y $T\left(\sum_{n=1}^{m} x_{n}\right)=\sum_{n=1}^{m} T x_{n} \rightarrow \sum_{n} T x_{n}$ como $m \rightarrow \infty,$ entonces tenemos
$\sum_{n} T x_{n}=T\left(\sum_{n} x_{n}\right) .$ Por lo tanto $ \left\|T\left(\sum_{n} x_{n}\right)\right\|=\left\|\sum_{n} T x_{n}\right\| \leq \sum_{n}\left\|T x_{n}\right\| $ .

Answer 1

He aquí una prueba rápida.

Si $T$ no está acotada, entonces para cada $C>0$ existe alguna $x\in B(0,1)$ tal que $\|Tx\|\geq C$ . Aplicando la linealidad y considerando $\frac{C}{r}$ en lo anterior, obtenemos que para cada $r>0$ existe alguna $x\in B(0,r)$ tal que $\|Tx\|\geq C$ . Sea $r_n=2^{-n}$ y que $x_1\in B(0,1/2)$ ser arbitraria.

Inductivamente, elige $x_{n+1}\in B(0,r_{n+1})$ tal que $\|Tx_{n+1}\|\geq 1$ . Entonces, tenemos

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \|x_n\|\leq \sum_{n=1}^{\infty} r_n<\infty $$ así que $\sum_{n=1}^{\infty} x_n$ es absolutamente convergente. Sin embargo,

$$ \left\|\sum_{m=1}^{n+1} Tx_m-\sum_{m=1}^{n} Tx_m\right\|=\|T x_{n+1}\|\geq 1, $$ para que $(\sum_{m=1}^n Tx_m)_{n\in \mathbb{N}}$ no es Cauchy y, por tanto, no es convergente.